Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73043 / 78579
↖ ↑ ↗
← S 33.694638°
E 20.618592°		 ← 254.06 m → S 33.694638°
E 20.621338°		 →
↑
254.08 m
↓
↑
254.08 m
↓
S 33.696923°
E 20.618592°		 ← 254.06 m →
64 550 m²		 S 33.696923°
E 20.621338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557277679443359 y=0.599514007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557277679443359 × 217)
    floor (0.557277679443359 × 131072)
    floor (73043.5)     		tx = 73043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599514007568359 × 217)
    floor (0.599514007568359 × 131072)
    floor (78579.5)     		ty = 78579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73043 / 78579 ti = "17/73043/78579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73043/78579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73043 ÷ 217
    73043 ÷ 131072     		x = 0.557273864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78579 ÷ 217
    78579 ÷ 131072     		y = 0.599510192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557273864746094 × 2 - 1) × π
    0.114547729492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.35986231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599510192871094 × 2 - 1) × π
    -0.199020385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.625240981744392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35986231} λ = 0.35986231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.625240981744392))-π/2
    2×atan(0.535132455826896)-π/2
    2×0.491356980643858-π/2
    0.982713961287716-1.57079632675     		φ = -0.58808237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35986231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.618592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58808237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.694638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73043 KachelY 78579 0.35986231 -0.58808237 20.618592 -33.694638
    Oben rechts KachelX + 1 73044 KachelY 78579 0.35991024 -0.58808237 20.621338 -33.694638
    Unten links KachelX 73043 KachelY + 1 78580 0.35986231 -0.58812225 20.618592 -33.696923
    Unten rechts KachelX + 1 73044 KachelY + 1 78580 0.35991024 -0.58812225 20.621338 -33.696923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58808237--0.58812225) × R
    3.98799999999921e-05 × 6371000     		dl = 254.07547999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58808237--0.58812225) × R
    3.98799999999921e-05 × 6371000     		dr = 254.07547999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35986231-0.35991024) × cos(-0.58808237) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.832006045224036 × 6371000     		do = 254.063054941745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35986231-0.35991024) × cos(-0.58812225) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.831983920471846 × 6371000     		du = 254.056298882503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58808237)-sin(-0.58812225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832006045224036-0.831983920471846)×R²
    abs(0.35991024-0.35986231)×2.21247521901002e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21247521901002e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21247521901002e-05×40589641000000     		ar = 64550.3343686213m²