Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73042 / 55346
↖ ↑ ↗
← N 26.936762°
E 20.615845°		 ← 272.29 m → N 26.936762°
E 20.618592°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 26.934314°
E 20.615845°		 ← 272.30 m →
74 127 m²		 N 26.934314°
E 20.618592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557270050048828 y=0.422260284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557270050048828 × 217)
    floor (0.557270050048828 × 131072)
    floor (73042.5)     		tx = 73042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422260284423828 × 217)
    floor (0.422260284423828 × 131072)
    floor (55346.5)     		ty = 55346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73042 / 55346 ti = "17/73042/55346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73042/55346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73042 ÷ 217
    73042 ÷ 131072     		x = 0.557266235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55346 ÷ 217
    55346 ÷ 131072     		y = 0.422256469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557266235351562 × 2 - 1) × π
    0.114532470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35981437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422256469726562 × 2 - 1) × π
    0.155487060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.488477007128372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35981437} λ = 0.35981437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488477007128372))-π/2
    2×atan(1.62983210611214)-π/2
    2×1.02046576074437-π/2
    2.04093152148874-1.57079632675     		φ = 0.47013519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35981437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.615845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47013519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.936762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73042 KachelY 55346 0.35981437 0.47013519 20.615845 26.936762
    Oben rechts KachelX + 1 73043 KachelY 55346 0.35986231 0.47013519 20.618592 26.936762
    Unten links KachelX 73042 KachelY + 1 55347 0.35981437 0.47009246 20.615845 26.934314
    Unten rechts KachelX + 1 73043 KachelY + 1 55347 0.35986231 0.47009246 20.618592 26.934314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47013519-0.47009246) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dl = 272.232829999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47013519-0.47009246) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dr = 272.232829999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35981437-0.35986231) × cos(0.47013519) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891507054351294 × 6371000     		do = 272.289201790601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35981437-0.35986231) × cos(0.47009246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8915264105185 × 6371000     		du = 272.295113662293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47013519)-sin(0.47009246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891507054351294-0.8915264105185)×R²
    abs(0.35986231-0.35981437)×1.93561672058307e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93561672058307e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93561672058307e-05×40589641000000     		ar = 74126.864695901m²