Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73041 / 77105
↖ ↑ ↗
← S 30.261440°
E 20.613098°		 ← 263.81 m → S 30.261440°
E 20.615845°		 →
↑
263.76 m
↓
↑
263.76 m
↓
S 30.263812°
E 20.613098°		 ← 263.80 m →
69 581 m²		 S 30.263812°
E 20.615845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557262420654297 y=0.588268280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557262420654297 × 217)
    floor (0.557262420654297 × 131072)
    floor (73041.5)     		tx = 73041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588268280029297 × 217)
    floor (0.588268280029297 × 131072)
    floor (77105.5)     		ty = 77105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73041 / 77105 ti = "17/73041/77105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73041/77105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73041 ÷ 217
    73041 ÷ 131072     		x = 0.557258605957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77105 ÷ 217
    77105 ÷ 131072     		y = 0.588264465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557258605957031 × 2 - 1) × π
    0.114517211914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.35976643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588264465332031 × 2 - 1) × π
    -0.176528930664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.55458199170443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35976643} λ = 0.35976643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55458199170443))-π/2
    2×atan(0.574312278324953)-π/2
    2×0.521317285128354-π/2
    1.04263457025671-1.57079632675     		φ = -0.52816176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35976643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.613098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52816176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.261440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73041 KachelY 77105 0.35976643 -0.52816176 20.613098 -30.261440
    Oben rechts KachelX + 1 73042 KachelY 77105 0.35981437 -0.52816176 20.615845 -30.261440
    Unten links KachelX 73041 KachelY + 1 77106 0.35976643 -0.52820316 20.613098 -30.263812
    Unten rechts KachelX + 1 73042 KachelY + 1 77106 0.35981437 -0.52820316 20.615845 -30.263812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52816176--0.52820316) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dl = 263.759399999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52816176--0.52820316) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dr = 263.759399999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35976643-0.35981437) × cos(-0.52816176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863734903833911 × 6371000     		do = 263.806872167128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35976643-0.35981437) × cos(-0.52820316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863714039711036 × 6371000     		du = 263.80049972696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52816176)-sin(-0.52820316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863734903833911-0.863714039711036)×R²
    abs(0.35981437-0.35976643)×2.08641228756079e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08641228756079e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08641228756079e-05×40589641000000     		ar = 69580.7019331498m²