Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7304 / 3720
↖ ↑ ↗
← N 69.595890°
W 19.511718°		 ← 851.80 m → N 69.595890°
W 19.489746°		 →
↑
851.99 m
↓
↑
851.99 m
↓
N 69.588228°
W 19.511718°		 ← 852.11 m →
725 859 m²		 N 69.588228°
W 19.489746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445831298828125 y=0.227081298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445831298828125 × 214)
    floor (0.445831298828125 × 16384)
    floor (7304.5)     		tx = 7304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227081298828125 × 214)
    floor (0.227081298828125 × 16384)
    floor (3720.5)     		ty = 3720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7304 / 3720 ti = "14/7304/3720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7304/3720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7304 ÷ 214
    7304 ÷ 16384     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3720 ÷ 214
    3720 ÷ 16384     		y = 0.22705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22705078125 × 2 - 1) × π
    0.5458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71499052080713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71499052080713))-π/2
    2×atan(5.55662283981216)-π/2
    2×1.39273687711114-π/2
    2.78547375422228-1.57079632675     		φ = 1.21467743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21467743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.595890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7304 KachelY 3720 -0.34054373 1.21467743 -19.511718 69.595890
    Oben rechts KachelX + 1 7305 KachelY 3720 -0.34016024 1.21467743 -19.489746 69.595890
    Unten links KachelX 7304 KachelY + 1 3721 -0.34054373 1.21454370 -19.511718 69.588228
    Unten rechts KachelX + 1 7305 KachelY + 1 3721 -0.34016024 1.21454370 -19.489746 69.588228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21467743-1.21454370) × R
    0.000133730000000165 × 6371000     		dl = 851.993830001052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21467743-1.21454370) × R
    0.000133730000000165 × 6371000     		dr = 851.993830001052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.34016024) × cos(1.21467743) × R
    0.000383489999999986 × 0.348639277088577 × 6371000     		do = 851.80063815769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.34016024) × cos(1.21454370) × R
    0.000383489999999986 × 0.348764613347221 × 6371000     		du = 852.106861558532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21467743)-sin(1.21454370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348639277088577-0.348764613347221)×R²
    abs(-0.34016024--0.34054373)×0.000125336258644082×R²
    0.000383489999999986×0.000125336258644082×6371000²
    0.000383489999999986×0.000125336258644082×40589641000000     		ar = 725859.339405911m²