Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73039 / 78550
↖ ↑ ↗
← S 33.628342°
E 20.607605°		 ← 254.26 m → S 33.628342°
E 20.610351°		 →
↑
254.27 m
↓
↑
254.27 m
↓
S 33.630629°
E 20.607605°		 ← 254.25 m →
64 649 m²		 S 33.630629°
E 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557247161865234 y=0.599292755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557247161865234 × 217)
    floor (0.557247161865234 × 131072)
    floor (73039.5)     		tx = 73039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599292755126953 × 217)
    floor (0.599292755126953 × 131072)
    floor (78550.5)     		ty = 78550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73039 / 78550 ti = "17/73039/78550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73039/78550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73039 ÷ 217
    73039 ÷ 131072     		x = 0.557243347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78550 ÷ 217
    78550 ÷ 131072     		y = 0.599288940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557243347167969 × 2 - 1) × π
    0.114486694335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.35967056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599288940429688 × 2 - 1) × π
    -0.198577880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.623850811655411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35967056} λ = 0.35967056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.623850811655411))-π/2
    2×atan(0.535876898291563)-π/2
    2×0.49193551853682-π/2
    0.983871037073639-1.57079632675     		φ = -0.58692529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35967056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.607605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58692529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.628342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73039 KachelY 78550 0.35967056 -0.58692529 20.607605 -33.628342
    Oben rechts KachelX + 1 73040 KachelY 78550 0.35971849 -0.58692529 20.610351 -33.628342
    Unten links KachelX 73039 KachelY + 1 78551 0.35967056 -0.58696520 20.607605 -33.630629
    Unten rechts KachelX + 1 73040 KachelY + 1 78551 0.35971849 -0.58696520 20.610351 -33.630629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58692529--0.58696520) × R
    3.99099999999208e-05 × 6371000     		dl = 254.266609999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58692529--0.58696520) × R
    3.99099999999208e-05 × 6371000     		dr = 254.266609999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35967056-0.35971849) × cos(-0.58692529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.832647397417879 × 6371000     		do = 254.258899549896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35967056-0.35971849) × cos(-0.58696520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.832625294457258 × 6371000     		du = 254.252150144972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58692529)-sin(-0.58696520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832647397417879-0.832625294457258)×R²
    abs(0.35971849-0.35967056)×2.21029606213285e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21029606213285e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21029606213285e-05×40589641000000     		ar = 64648.6903850971m²