Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73038 / 75919
↖ ↑ ↗
← S 27.408348°
E 20.604858°		 ← 271.14 m → S 27.408348°
E 20.607605°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
S 27.410786°
E 20.604858°		 ← 271.14 m →
73 502 m²		 S 27.410786°
E 20.607605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557239532470703 y=0.579219818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557239532470703 × 217)
    floor (0.557239532470703 × 131072)
    floor (73038.5)     		tx = 73038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579219818115234 × 217)
    floor (0.579219818115234 × 131072)
    floor (75919.5)     		ty = 75919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73038 / 75919 ti = "17/73038/75919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73038/75919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73038 ÷ 217
    73038 ÷ 131072     		x = 0.557235717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75919 ÷ 217
    75919 ÷ 131072     		y = 0.579216003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557235717773438 × 2 - 1) × π
    0.114471435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35962262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579216003417969 × 2 - 1) × π
    -0.158432006835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.497728828755043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35962262} λ = 0.35962262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497728828755043))-π/2
    2×atan(0.607909760200035)-π/2
    2×0.546215210585979-π/2
    1.09243042117196-1.57079632675     		φ = -0.47836591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35962262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.604858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47836591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.408348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73038 KachelY 75919 0.35962262 -0.47836591 20.604858 -27.408348
    Oben rechts KachelX + 1 73039 KachelY 75919 0.35967056 -0.47836591 20.607605 -27.408348
    Unten links KachelX 73038 KachelY + 1 75920 0.35962262 -0.47840846 20.604858 -27.410786
    Unten rechts KachelX + 1 73039 KachelY + 1 75920 0.35967056 -0.47840846 20.607605 -27.410786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47836591--0.47840846) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dl = 271.086049999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47836591--0.47840846) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dr = 271.086049999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35962262-0.35967056) × cos(-0.47836591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887748326927532 × 6371000     		do = 271.141189685426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35962262-0.35967056) × cos(-0.47840846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887728739119416 × 6371000     		du = 271.135207064637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47836591)-sin(-0.47840846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887748326927532-0.887728739119416)×R²
    abs(0.35967056-0.35962262)×1.95878081159506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95878081159506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95878081159506e-05×40589641000000     		ar = 73501.7832126336m²