Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73037 / 78547
↖ ↑ ↗
← S 33.621481°
E 20.602112°		 ← 254.33 m → S 33.621481°
E 20.604858°		 →
↑
254.33 m
↓
↑
254.33 m
↓
S 33.623768°
E 20.602112°		 ← 254.33 m →
64 684 m²		 S 33.623768°
E 20.604858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557231903076172 y=0.599269866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557231903076172 × 217)
    floor (0.557231903076172 × 131072)
    floor (73037.5)     		tx = 73037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599269866943359 × 217)
    floor (0.599269866943359 × 131072)
    floor (78547.5)     		ty = 78547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73037 / 78547 ti = "17/73037/78547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73037/78547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73037 ÷ 217
    73037 ÷ 131072     		x = 0.557228088378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78547 ÷ 217
    78547 ÷ 131072     		y = 0.599266052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557228088378906 × 2 - 1) × π
    0.114456176757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.35957468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599266052246094 × 2 - 1) × π
    -0.198532104492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.623707000956551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35957468} λ = 0.35957468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.623707000956551))-π/2
    2×atan(0.535953968664448)-π/2
    2×0.491995392722995-π/2
    0.983990785445991-1.57079632675     		φ = -0.58680554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35957468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.602112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58680554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.621481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73037 KachelY 78547 0.35957468 -0.58680554 20.602112 -33.621481
    Oben rechts KachelX + 1 73038 KachelY 78547 0.35962262 -0.58680554 20.604858 -33.621481
    Unten links KachelX 73037 KachelY + 1 78548 0.35957468 -0.58684546 20.602112 -33.623768
    Unten rechts KachelX + 1 73038 KachelY + 1 78548 0.35962262 -0.58684546 20.604858 -33.623768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58680554--0.58684546) × R
    3.99200000000821e-05 × 6371000     		dl = 254.330320000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58680554--0.58684546) × R
    3.99200000000821e-05 × 6371000     		dr = 254.330320000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35957468-0.35962262) × cos(-0.58680554) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832713709416193 × 6371000     		do = 254.332200906713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35957468-0.35962262) × cos(-0.58684546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832691604897714 × 6371000     		du = 254.3254496178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58680554)-sin(-0.58684546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832713709416193-0.832691604897714)×R²
    abs(0.35962262-0.35957468)×2.21045184787272e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21045184787272e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21045184787272e-05×40589641000000     		ar = 64683.5315227372m²