Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73036 / 75916
↖ ↑ ↗
← S 27.401032°
E 20.599365°		 ← 271.10 m → S 27.401032°
E 20.602112°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
S 27.403471°
E 20.599365°		 ← 271.10 m →
73 509 m²		 S 27.403471°
E 20.602112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557224273681641 y=0.579196929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557224273681641 × 217)
    floor (0.557224273681641 × 131072)
    floor (73036.5)     		tx = 73036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579196929931641 × 217)
    floor (0.579196929931641 × 131072)
    floor (75916.5)     		ty = 75916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73036 / 75916 ti = "17/73036/75916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73036/75916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73036 ÷ 217
    73036 ÷ 131072     		x = 0.557220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75916 ÷ 217
    75916 ÷ 131072     		y = 0.579193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557220458984375 × 2 - 1) × π
    0.11444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35952675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.15838623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.497585018056183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35952675} λ = 0.35952675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497585018056183))-π/2
    2×atan(0.607997190414042)-π/2
    2×0.54627904655256-π/2
    1.09255809310512-1.57079632675     		φ = -0.47823823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35952675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.599365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47823823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.401032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73036 KachelY 75916 0.35952675 -0.47823823 20.599365 -27.401032
    Oben rechts KachelX + 1 73037 KachelY 75916 0.35957468 -0.47823823 20.602112 -27.401032
    Unten links KachelX 73036 KachelY + 1 75917 0.35952675 -0.47828079 20.599365 -27.403471
    Unten rechts KachelX + 1 73037 KachelY + 1 75917 0.35957468 -0.47828079 20.602112 -27.403471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47823823--0.47828079) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47823823--0.47828079) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35952675-0.35957468) × cos(-0.47823823) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887807094514588 × 6371000     		do = 271.102576629229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35952675-0.35957468) × cos(-0.47828079) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887787506926988 × 6371000     		du = 271.096595323716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47823823)-sin(-0.47828079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887807094514588-0.887787506926988)×R²
    abs(0.35957468-0.35952675)×1.95875876002338e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95875876002338e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95875876002338e-05×40589641000000     		ar = 73508.5876848098m²