Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73035 / 75915
↖ ↑ ↗
← S 27.398594°
E 20.596619°		 ← 271.17 m → S 27.398594°
E 20.599365°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
S 27.401032°
E 20.596619°		 ← 271.16 m →
73 526 m²		 S 27.401032°
E 20.599365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557216644287109 y=0.579189300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557216644287109 × 217)
    floor (0.557216644287109 × 131072)
    floor (73035.5)     		tx = 73035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579189300537109 × 217)
    floor (0.579189300537109 × 131072)
    floor (75915.5)     		ty = 75915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73035 / 75915 ti = "17/73035/75915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73035/75915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73035 ÷ 217
    73035 ÷ 131072     		x = 0.557212829589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75915 ÷ 217
    75915 ÷ 131072     		y = 0.579185485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557212829589844 × 2 - 1) × π
    0.114425659179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.35947881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579185485839844 × 2 - 1) × π
    -0.158370971679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.497537081156563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35947881} λ = 0.35947881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497537081156563))-π/2
    2×atan(0.608026336612912)-π/2
    2×0.546300326147025-π/2
    1.09260065229405-1.57079632675     		φ = -0.47819567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35947881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.596619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47819567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.398594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73035 KachelY 75915 0.35947881 -0.47819567 20.596619 -27.398594
    Oben rechts KachelX + 1 73036 KachelY 75915 0.35952675 -0.47819567 20.599365 -27.398594
    Unten links KachelX 73035 KachelY + 1 75916 0.35947881 -0.47823823 20.596619 -27.401032
    Unten rechts KachelX + 1 73036 KachelY + 1 75916 0.35952675 -0.47823823 20.599365 -27.401032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47819567--0.47823823) × R
    4.25599999999693e-05 × 6371000     		dl = 271.149759999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47819567--0.47823823) × R
    4.25599999999693e-05 × 6371000     		dr = 271.149759999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35947881-0.35952675) × cos(-0.47819567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887826680494056 × 6371000     		do = 271.165120881777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35947881-0.35952675) × cos(-0.47823823) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887807094514588 × 6371000     		du = 271.159138819504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47819567)-sin(-0.47823823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887826680494056-0.887807094514588)×R²
    abs(0.35952675-0.35947881)×1.95859794677178e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95859794677178e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95859794677178e-05×40589641000000     		ar = 73525.5464410748m²