Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73033 / 95602
↖ ↑ ↗
← S 63.374294°
E 20.591126°		 ← 136.85 m → S 63.374294°
E 20.593872°		 →
↑
136.91 m
↓
↑
136.91 m
↓
S 63.375525°
E 20.591126°		 ← 136.85 m →
18 736 m²		 S 63.375525°
E 20.593872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557201385498047 y=0.729389190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557201385498047 × 217)
    floor (0.557201385498047 × 131072)
    floor (73033.5)     		tx = 73033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729389190673828 × 217)
    floor (0.729389190673828 × 131072)
    floor (95602.5)     		ty = 95602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73033 / 95602 ti = "17/73033/95602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73033/95602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73033 ÷ 217
    73033 ÷ 131072     		x = 0.557197570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95602 ÷ 217
    95602 ÷ 131072     		y = 0.729385375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557197570800781 × 2 - 1) × π
    0.114395141601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.35938294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729385375976562 × 2 - 1) × π
    -0.458770751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44127082397661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35938294} λ = 0.35938294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44127082397661))-π/2
    2×atan(0.236626856443051)-π/2
    2×0.232353116036657-π/2
    0.464706232073314-1.57079632675     		φ = -1.10609009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35938294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.591126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10609009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.374294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73033 KachelY 95602 0.35938294 -1.10609009 20.591126 -63.374294
    Oben rechts KachelX + 1 73034 KachelY 95602 0.35943087 -1.10609009 20.593872 -63.374294
    Unten links KachelX 73033 KachelY + 1 95603 0.35938294 -1.10611158 20.591126 -63.375525
    Unten rechts KachelX + 1 73034 KachelY + 1 95603 0.35943087 -1.10611158 20.593872 -63.375525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10609009--1.10611158) × R
    2.14900000001794e-05 × 6371000     		dl = 136.912790001143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10609009--1.10611158) × R
    2.14900000001794e-05 × 6371000     		dr = 136.912790001143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35938294-0.35943087) × cos(-1.10609009) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448160210212777 × 6371000     		do = 136.851111555884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35938294-0.35943087) × cos(-1.10611158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448140999053797 × 6371000     		du = 136.845245197379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10609009)-sin(-1.10611158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448160210212777-0.448140999053797)×R²
    abs(0.35943087-0.35938294)×1.92111589796817e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92111589796817e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92111589796817e-05×40589641000000     		ar = 18736.2659087248m²