Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73032 / 76115
↖ ↑ ↗
← S 27.885211°
E 20.588379°		 ← 269.96 m → S 27.885211°
E 20.591126°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 27.887639°
E 20.588379°		 ← 269.96 m →
72 872 m²		 S 27.887639°
E 20.591126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557193756103516 y=0.580715179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557193756103516 × 217)
    floor (0.557193756103516 × 131072)
    floor (73032.5)     		tx = 73032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580715179443359 × 217)
    floor (0.580715179443359 × 131072)
    floor (76115.5)     		ty = 76115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73032 / 76115 ti = "17/73032/76115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73032/76115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73032 ÷ 217
    73032 ÷ 131072     		x = 0.55718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76115 ÷ 217
    76115 ÷ 131072     		y = 0.580711364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55718994140625 × 2 - 1) × π
    0.1143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35933500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580711364746094 × 2 - 1) × π
    -0.161422729492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.507124461080574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35933500} λ = 0.35933500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507124461080574))-π/2
    2×atan(0.602224812267589)-π/2
    2×0.542053786078949-π/2
    1.0841075721579-1.57079632675     		φ = -0.48668875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35933500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.588379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48668875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.885211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73032 KachelY 76115 0.35933500 -0.48668875 20.588379 -27.885211
    Oben rechts KachelX + 1 73033 KachelY 76115 0.35938294 -0.48668875 20.591126 -27.885211
    Unten links KachelX 73032 KachelY + 1 76116 0.35933500 -0.48673112 20.588379 -27.887639
    Unten rechts KachelX + 1 73033 KachelY + 1 76116 0.35938294 -0.48673112 20.591126 -27.887639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48668875--0.48673112) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48668875--0.48673112) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35933500-0.35938294) × cos(-0.48668875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883886378624151 × 6371000     		do = 269.961651267024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35933500-0.35938294) × cos(-0.48673112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88386656131022 × 6371000     		du = 269.955598549252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48668875)-sin(-0.48673112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883886378624151-0.88386656131022)×R²
    abs(0.35938294-0.35933500)×1.98173139313029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98173139313029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98173139313029e-05×40589641000000     		ar = 72872.4341488843m²