Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73032 / 75898
↖ ↑ ↗
← S 27.357132°
E 20.588379°		 ← 271.27 m → S 27.357132°
E 20.591126°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
S 27.359571°
E 20.588379°		 ← 271.26 m →
73 588 m²		 S 27.359571°
E 20.591126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557193756103516 y=0.579059600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557193756103516 × 217)
    floor (0.557193756103516 × 131072)
    floor (73032.5)     		tx = 73032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579059600830078 × 217)
    floor (0.579059600830078 × 131072)
    floor (75898.5)     		ty = 75898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73032 / 75898 ti = "17/73032/75898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73032/75898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73032 ÷ 217
    73032 ÷ 131072     		x = 0.55718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75898 ÷ 217
    75898 ÷ 131072     		y = 0.579055786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55718994140625 × 2 - 1) × π
    0.1143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35933500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579055786132812 × 2 - 1) × π
    -0.158111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.496722153863022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35933500} λ = 0.35933500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.496722153863022))-π/2
    2×atan(0.608522035821784)-π/2
    2×0.546662151051575-π/2
    1.09332430210315-1.57079632675     		φ = -0.47747202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35933500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.588379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47747202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.357132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73032 KachelY 75898 0.35933500 -0.47747202 20.588379 -27.357132
    Oben rechts KachelX + 1 73033 KachelY 75898 0.35938294 -0.47747202 20.591126 -27.357132
    Unten links KachelX 73032 KachelY + 1 75899 0.35933500 -0.47751460 20.588379 -27.359571
    Unten rechts KachelX + 1 73033 KachelY + 1 75899 0.35938294 -0.47751460 20.591126 -27.359571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47747202--0.47751460) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dl = 271.277180000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47747202--0.47751460) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dr = 271.277180000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35933500-0.35938294) × cos(-0.47747202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888159455805965 × 6371000     		do = 271.266759027356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35933500-0.35938294) × cos(-0.47751460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888139887983627 × 6371000     		du = 271.260782510738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47747202)-sin(-0.47751460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888159455805965-0.888139887983627)×R²
    abs(0.35938294-0.35933500)×1.95678223383622e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95678223383622e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95678223383622e-05×40589641000000     		ar = 73587.670781613m²