Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73030 / 76146
↖ ↑ ↗
← S 27.960443°
E 20.582886°		 ← 269.72 m → S 27.960443°
E 20.585632°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
S 27.962869°
E 20.582886°		 ← 269.71 m →
72 755 m²		 S 27.962869°
E 20.585632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557178497314453 y=0.580951690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557178497314453 × 217)
    floor (0.557178497314453 × 131072)
    floor (73030.5)     		tx = 73030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580951690673828 × 217)
    floor (0.580951690673828 × 131072)
    floor (76146.5)     		ty = 76146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73030 / 76146 ti = "17/73030/76146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73030/76146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73030 ÷ 217
    73030 ÷ 131072     		x = 0.557174682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76146 ÷ 217
    76146 ÷ 131072     		y = 0.580947875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557174682617188 × 2 - 1) × π
    0.114349365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35923913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580947875976562 × 2 - 1) × π
    -0.161895751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.508610504968796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35923913} λ = 0.35923913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508610504968796))-π/2
    2×atan(0.601330544391208)-π/2
    2×0.541397267468818-π/2
    1.08279453493764-1.57079632675     		φ = -0.48800179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35923913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.582886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48800179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.960443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73030 KachelY 76146 0.35923913 -0.48800179 20.582886 -27.960443
    Oben rechts KachelX + 1 73031 KachelY 76146 0.35928706 -0.48800179 20.585632 -27.960443
    Unten links KachelX 73030 KachelY + 1 76147 0.35923913 -0.48804413 20.582886 -27.962869
    Unten rechts KachelX + 1 73031 KachelY + 1 76147 0.35928706 -0.48804413 20.585632 -27.962869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48800179--0.48804413) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dl = 269.748140000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48800179--0.48804413) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dr = 269.748140000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35923913-0.35928706) × cos(-0.48800179) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.883271505832513 × 6371000     		do = 269.717580062026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35923913-0.35928706) × cos(-0.48804413) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.883251653429512 × 6371000     		du = 269.711517891945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48800179)-sin(-0.48804413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883271505832513-0.883251653429512)×R²
    abs(0.35928706-0.35923913)×1.98524030016189e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.98524030016189e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.98524030016189e-05×40589641000000     		ar = 72754.9979284854m²