Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7303 / 3718
↖ ↑ ↗
← N 69.611205°
W 19.533691°		 ← 851.21 m → N 69.611205°
W 19.511718°		 →
↑
851.36 m
↓
↑
851.36 m
↓
N 69.603549°
W 19.533691°		 ← 851.52 m →
724 814 m²		 N 69.603549°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445770263671875 y=0.226959228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445770263671875 × 214)
    floor (0.445770263671875 × 16384)
    floor (7303.5)     		tx = 7303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226959228515625 × 214)
    floor (0.226959228515625 × 16384)
    floor (3718.5)     		ty = 3718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7303 / 3718 ti = "14/7303/3718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7303/3718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7303 ÷ 214
    7303 ÷ 16384     		x = 0.44573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3718 ÷ 214
    3718 ÷ 16384     		y = 0.2269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.1085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34092723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2269287109375 × 2 - 1) × π
    0.546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71575751120105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34092723} λ = -0.34092723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71575751120105))-π/2
    2×atan(5.56088635097999)-π/2
    2×1.39287053055342-π/2
    2.78574106110684-1.57079632675     		φ = 1.21494473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34092723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.533691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21494473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.611205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7303 KachelY 3718 -0.34092723 1.21494473 -19.533691 69.611205
    Oben rechts KachelX + 1 7304 KachelY 3718 -0.34054373 1.21494473 -19.511718 69.611205
    Unten links KachelX 7303 KachelY + 1 3719 -0.34092723 1.21481110 -19.533691 69.603549
    Unten rechts KachelX + 1 7304 KachelY + 1 3719 -0.34054373 1.21481110 -19.511718 69.603549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21494473-1.21481110) × R
    0.000133630000000107 × 6371000     		dl = 851.35673000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21494473-1.21481110) × R
    0.000133630000000107 × 6371000     		dr = 851.35673000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34092723--0.34054373) × cos(1.21494473) × R
    0.000383500000000037 × 0.348388735844664 × 6371000     		do = 851.210707931528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34092723--0.34054373) × cos(1.21481110) × R
    0.000383500000000037 × 0.348513990833184 × 6371000     		du = 851.516740751997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21494473)-sin(1.21481110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348388735844664-0.348513990833184)×R²
    abs(-0.34054373--0.34092723)×0.000125254988520063×R²
    0.000383500000000037×0.000125254988520063×6371000²
    0.000383500000000037×0.000125254988520063×40589641000000     		ar = 724814.237476632m²