Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73027 / 76113
↖ ↑ ↗
← S 27.880356°
E 20.574646°		 ← 269.92 m → S 27.880356°
E 20.577392°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
S 27.882784°
E 20.574646°		 ← 269.91 m →
72 861 m²		 S 27.882784°
E 20.577392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557155609130859 y=0.580699920654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557155609130859 × 217)
    floor (0.557155609130859 × 131072)
    floor (73027.5)     		tx = 73027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580699920654297 × 217)
    floor (0.580699920654297 × 131072)
    floor (76113.5)     		ty = 76113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73027 / 76113 ti = "17/73027/76113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73027/76113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73027 ÷ 217
    73027 ÷ 131072     		x = 0.557151794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76113 ÷ 217
    76113 ÷ 131072     		y = 0.580696105957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557151794433594 × 2 - 1) × π
    0.114303588867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.35909532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580696105957031 × 2 - 1) × π
    -0.161392211914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.507028587281334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35909532} λ = 0.35909532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507028587281334))-π/2
    2×atan(0.602282552616186)-π/2
    2×0.542096157801376-π/2
    1.08419231560275-1.57079632675     		φ = -0.48660401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35909532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.574646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48660401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.880356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73027 KachelY 76113 0.35909532 -0.48660401 20.574646 -27.880356
    Oben rechts KachelX + 1 73028 KachelY 76113 0.35914325 -0.48660401 20.577392 -27.880356
    Unten links KachelX 73027 KachelY + 1 76114 0.35909532 -0.48664638 20.574646 -27.882784
    Unten rechts KachelX + 1 73028 KachelY + 1 76114 0.35914325 -0.48664638 20.577392 -27.882784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48660401--0.48664638) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48660401--0.48664638) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35909532-0.35914325) × cos(-0.48660401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883926008491675 × 6371000     		do = 269.91744032298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35909532-0.35914325) × cos(-0.48664638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883906194351314 × 6371000     		du = 269.911389836857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48660401)-sin(-0.48664638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883926008491675-0.883906194351314)×R²
    abs(0.35914325-0.35909532)×1.98141403602303e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98141403602303e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98141403602303e-05×40589641000000     		ar = 72860.5001801579m²