Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73025 / 95581
↖ ↑ ↗
← S 63.348433°
E 20.569153°		 ← 137 m → S 63.348433°
E 20.571900°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
S 63.349665°
E 20.569153°		 ← 137 m →
18 766 m²		 S 63.349665°
E 20.571900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557140350341797 y=0.729228973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557140350341797 × 217)
    floor (0.557140350341797 × 131072)
    floor (73025.5)     		tx = 73025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729228973388672 × 217)
    floor (0.729228973388672 × 131072)
    floor (95581.5)     		ty = 95581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73025 / 95581 ti = "17/73025/95581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73025/95581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73025 ÷ 217
    73025 ÷ 131072     		x = 0.557136535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95581 ÷ 217
    95581 ÷ 131072     		y = 0.729225158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557136535644531 × 2 - 1) × π
    0.114273071289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.35899944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729225158691406 × 2 - 1) × π
    -0.458450317382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.44026414908459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35899944} λ = 0.35899944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44026414908459))-π/2
    2×atan(0.236865182696611)-π/2
    2×0.232578793373065-π/2
    0.46515758674613-1.57079632675     		φ = -1.10563874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35899944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.569153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10563874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.348433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73025 KachelY 95581 0.35899944 -1.10563874 20.569153 -63.348433
    Oben rechts KachelX + 1 73026 KachelY 95581 0.35904738 -1.10563874 20.571900 -63.348433
    Unten links KachelX 73025 KachelY + 1 95582 0.35899944 -1.10566024 20.569153 -63.349665
    Unten rechts KachelX + 1 73026 KachelY + 1 95582 0.35904738 -1.10566024 20.571900 -63.349665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10563874--1.10566024) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dl = 136.976499999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10563874--1.10566024) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dr = 136.976499999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35899944-0.35904738) × cos(-1.10563874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.448563650352809 × 6371000     		do = 137.002884846177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35899944-0.35904738) × cos(-1.10566024) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.448544434605023 × 6371000     		du = 136.99701586219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10563874)-sin(-1.10566024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448563650352809-0.448544434605023)×R²
    abs(0.35904738-0.35899944)×1.92157477861277e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92157477861277e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92157477861277e-05×40589641000000     		ar = 18765.7737002874m²