Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7302 / 9098
↖ ↑ ↗
← N 62.216756°
W 99.777832°		 ← 569.44 m → N 62.216756°
W 99.766846°		 →
↑
569.50 m
↓
↑
569.50 m
↓
N 62.211634°
W 99.777832°		 ← 569.54 m →
324 326 m²		 N 62.211634°
W 99.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222854614257812 y=0.277664184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222854614257812 × 215)
    floor (0.222854614257812 × 32768)
    floor (7302.5)     		tx = 7302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277664184570312 × 215)
    floor (0.277664184570312 × 32768)
    floor (9098.5)     		ty = 9098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7302 / 9098 ti = "15/7302/9098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7302/9098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7302 ÷ 215
    7302 ÷ 32768     		x = 0.22283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9098 ÷ 215
    9098 ÷ 32768     		y = 0.27764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.5543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74145169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27764892578125 × 2 - 1) × π
    0.4447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.39707300252692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74145169} λ = -1.74145169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39707300252692))-π/2
    2×atan(4.04334776093904)-π/2
    2×1.32834178186751-π/2
    2.65668356373502-1.57079632675     		φ = 1.08588724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74145169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08588724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.216756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7302 KachelY 9098 -1.74145169 1.08588724 -99.777832 62.216756
    Oben rechts KachelX + 1 7303 KachelY 9098 -1.74125994 1.08588724 -99.766846 62.216756
    Unten links KachelX 7302 KachelY + 1 9099 -1.74145169 1.08579785 -99.777832 62.211634
    Unten rechts KachelX + 1 7303 KachelY + 1 9099 -1.74125994 1.08579785 -99.766846 62.211634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08588724-1.08579785) × R
    8.9389999999856e-05 × 6371000     		dl = 569.503689999082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08588724-1.08579785) × R
    8.9389999999856e-05 × 6371000     		dr = 569.503689999082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74145169--1.74125994) × cos(1.08588724) × R
    0.000191750000000157 × 0.46612792888703 × 6371000     		do = 569.440173450071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74145169--1.74125994) × cos(1.08579785) × R
    0.000191750000000157 × 0.466207011906735 × 6371000     		du = 569.536784370951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08588724)-sin(1.08579785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46612792888703-0.466207011906735)×R²
    abs(-1.74125994--1.74145169)×7.90830197042736e-05×R²
    0.000191750000000157×7.90830197042736e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.90830197042736e-05×40589641000000     		ar = 324325.790367346m²