Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7302 / 7026
↖ ↑ ↗
← N 24.806682°
W 19.555664°		 ← 2 217.83 m → N 24.806682°
W 19.533691°		 →
↑
2 218 m
↓
↑
2 218 m
↓
N 24.786735°
W 19.555664°		 ← 2 218.19 m →
4 919 551 m²		 N 24.786735°
W 19.533691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445709228515625 y=0.428863525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445709228515625 × 214)
    floor (0.445709228515625 × 16384)
    floor (7302.5)     		tx = 7302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428863525390625 × 214)
    floor (0.428863525390625 × 16384)
    floor (7026.5)     		ty = 7026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7302 / 7026 ti = "14/7302/7026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7302/7026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7302 ÷ 214
    7302 ÷ 16384     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7026 ÷ 214
    7026 ÷ 16384     		y = 0.4288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    0.142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.447155399655884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447155399655884))-π/2
    2×atan(1.56385730329134)-π/2
    2×1.00187729645055-π/2
    2.0037545929011-1.57079632675     		φ = 0.43295827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43295827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.806682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7302 KachelY 7026 -0.34131073 0.43295827 -19.555664 24.806682
    Oben rechts KachelX + 1 7303 KachelY 7026 -0.34092723 0.43295827 -19.533691 24.806682
    Unten links KachelX 7302 KachelY + 1 7027 -0.34131073 0.43261013 -19.555664 24.786735
    Unten rechts KachelX + 1 7303 KachelY + 1 7027 -0.34092723 0.43261013 -19.533691 24.786735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43295827-0.43261013) × R
    0.000348139999999997 × 6371000     		dl = 2217.99993999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43295827-0.43261013) × R
    0.000348139999999997 × 6371000     		dr = 2217.99993999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34092723) × cos(0.43295827) × R
    0.000383499999999981 × 0.907728557743918 × 6371000     		do = 2217.83366897161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34092723) × cos(0.43261013) × R
    0.000383499999999981 × 0.907874567633369 × 6371000     		du = 2218.1904117953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43295827)-sin(0.43261013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907728557743918-0.907874567633369)×R²
    abs(-0.34092723--0.34131073)×0.000146009889450682×R²
    0.000383499999999981×0.000146009889450682×6371000²
    0.000383499999999981×0.000146009889450682×40589641000000     		ar = 4919550.6221776m²