Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7302 / 4546
↖ ↑ ↗
← N 62.247466°
W 19.555664°		 ← 1 137.72 m → N 62.247466°
W 19.533691°		 →
↑
1 137.92 m
↓
↑
1 137.92 m
↓
N 62.237233°
W 19.555664°		 ← 1 138.11 m →
1 294 861 m²		 N 62.237233°
W 19.533691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445709228515625 y=0.277496337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445709228515625 × 214)
    floor (0.445709228515625 × 16384)
    floor (7302.5)     		tx = 7302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277496337890625 × 214)
    floor (0.277496337890625 × 16384)
    floor (4546.5)     		ty = 4546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7302 / 4546 ti = "14/7302/4546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7302/4546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7302 ÷ 214
    7302 ÷ 16384     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4546 ÷ 214
    4546 ÷ 16384     		y = 0.2774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2774658203125 × 2 - 1) × π
    0.445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3982234881178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3982234881178))-π/2
    2×atan(4.04800225122553)-π/2
    2×1.32860978217327-π/2
    2.65721956434654-1.57079632675     		φ = 1.08642324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08642324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.247466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7302 KachelY 4546 -0.34131073 1.08642324 -19.555664 62.247466
    Oben rechts KachelX + 1 7303 KachelY 4546 -0.34092723 1.08642324 -19.533691 62.247466
    Unten links KachelX 7302 KachelY + 1 4547 -0.34131073 1.08624463 -19.555664 62.237233
    Unten rechts KachelX + 1 7303 KachelY + 1 4547 -0.34092723 1.08624463 -19.533691 62.237233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08642324-1.08624463) × R
    0.000178610000000079 × 6371000     		dl = 1137.9243100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08642324-1.08624463) × R
    0.000178610000000079 × 6371000     		dr = 1137.9243100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34092723) × cos(1.08642324) × R
    0.000383499999999981 × 0.465653653462541 × 6371000     		do = 1137.72155995142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34092723) × cos(1.08624463) × R
    0.000383499999999981 × 0.465811709998508 × 6371000     		du = 1138.10773608753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08642324)-sin(1.08624463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465653653462541-0.465811709998508)×R²
    abs(-0.34092723--0.34131073)×0.000158056535966677×R²
    0.000383499999999981×0.000158056535966677×6371000²
    0.000383499999999981×0.000158056535966677×40589641000000     		ar = 1294860.74412929m²