Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7302 / 4535
↖ ↑ ↗
← N 62.359805°
W 19.555664°		 ← 1 133.48 m → N 62.359805°
W 19.533691°		 →
↑
1 133.66 m
↓
↑
1 133.66 m
↓
N 62.349609°
W 19.555664°		 ← 1 133.87 m →
1 285 194 m²		 N 62.349609°
W 19.533691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445709228515625 y=0.276824951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445709228515625 × 214)
    floor (0.445709228515625 × 16384)
    floor (7302.5)     		tx = 7302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276824951171875 × 214)
    floor (0.276824951171875 × 16384)
    floor (4535.5)     		ty = 4535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7302 / 4535 ti = "14/7302/4535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7302/4535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7302 ÷ 214
    7302 ÷ 16384     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4535 ÷ 214
    4535 ÷ 16384     		y = 0.27679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27679443359375 × 2 - 1) × π
    0.4464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40244193528436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40244193528436))-π/2
    2×atan(4.06511460325231)-π/2
    2×1.32959011818824-π/2
    2.65918023637649-1.57079632675     		φ = 1.08838391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08838391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.359805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7302 KachelY 4535 -0.34131073 1.08838391 -19.555664 62.359805
    Oben rechts KachelX + 1 7303 KachelY 4535 -0.34092723 1.08838391 -19.533691 62.359805
    Unten links KachelX 7302 KachelY + 1 4536 -0.34131073 1.08820597 -19.555664 62.349609
    Unten rechts KachelX + 1 7303 KachelY + 1 4536 -0.34092723 1.08820597 -19.533691 62.349609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08838391-1.08820597) × R
    0.000177939999999932 × 6371000     		dl = 1133.65573999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08838391-1.08820597) × R
    0.000177939999999932 × 6371000     		dr = 1133.65573999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34092723) × cos(1.08838391) × R
    0.000383499999999981 × 0.463917631194531 × 6371000     		do = 1133.47997406847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34092723) × cos(1.08820597) × R
    0.000383499999999981 × 0.464075257040907 × 6371000     		du = 1133.86509790997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08838391)-sin(1.08820597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463917631194531-0.464075257040907)×R²
    abs(-0.34092723--0.34131073)×0.000157625846376186×R²
    0.000383499999999981×0.000157625846376186×6371000²
    0.000383499999999981×0.000157625846376186×40589641000000     		ar = 1285194.38109374m²