Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73016 / 76141
↖ ↑ ↗
← S 27.948312°
E 20.544434°		 ← 269.80 m → S 27.948312°
E 20.547180°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
S 27.950739°
E 20.544434°		 ← 269.80 m →
72 796 m²		 S 27.950739°
E 20.547180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557071685791016 y=0.580913543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557071685791016 × 217)
    floor (0.557071685791016 × 131072)
    floor (73016.5)     		tx = 73016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580913543701172 × 217)
    floor (0.580913543701172 × 131072)
    floor (76141.5)     		ty = 76141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73016 / 76141 ti = "17/73016/76141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73016/76141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73016 ÷ 217
    73016 ÷ 131072     		x = 0.55706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76141 ÷ 217
    76141 ÷ 131072     		y = 0.580909729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55706787109375 × 2 - 1) × π
    0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580909729003906 × 2 - 1) × π
    -0.161819458007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.508370820470695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35856801} λ = 0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508370820470695))-π/2
    2×atan(0.60147469127513)-π/2
    2×0.541503126659764-π/2
    1.08300625331953-1.57079632675     		φ = -0.48779007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48779007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.948312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73016 KachelY 76141 0.35856801 -0.48779007 20.544434 -27.948312
    Oben rechts KachelX + 1 73017 KachelY 76141 0.35861595 -0.48779007 20.547180 -27.948312
    Unten links KachelX 73016 KachelY + 1 76142 0.35856801 -0.48783242 20.544434 -27.950739
    Unten rechts KachelX + 1 73017 KachelY + 1 76142 0.35861595 -0.48783242 20.547180 -27.950739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48779007--0.48783242) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dl = 269.811849999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48779007--0.48783242) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dr = 269.811849999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35856801-0.35861595) × cos(-0.48779007) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883370753469017 × 6371000     		do = 269.804166072768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35856801-0.35861595) × cos(-0.48783242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883350904297094 × 6371000     		du = 269.798103624744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48779007)-sin(-0.48783242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883370753469017-0.883350904297094)×R²
    abs(0.35861595-0.35856801)×1.98491719238802e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98491719238802e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98491719238802e-05×40589641000000     		ar = 72795.5433364801m²