Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73016 / 75928
↖ ↑ ↗
← S 27.430290°
E 20.544434°		 ← 271.09 m → S 27.430290°
E 20.547180°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
S 27.432728°
E 20.544434°		 ← 271.08 m →
73 487 m²		 S 27.432728°
E 20.547180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557071685791016 y=0.579288482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557071685791016 × 217)
    floor (0.557071685791016 × 131072)
    floor (73016.5)     		tx = 73016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579288482666016 × 217)
    floor (0.579288482666016 × 131072)
    floor (75928.5)     		ty = 75928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73016 / 75928 ti = "17/73016/75928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73016/75928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73016 ÷ 217
    73016 ÷ 131072     		x = 0.55706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75928 ÷ 217
    75928 ÷ 131072     		y = 0.57928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55706787109375 × 2 - 1) × π
    0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.1585693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.498160260851624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35856801} λ = 0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498160260851624))-π/2
    2×atan(0.607647544985757)-π/2
    2×0.546023728044183-π/2
    1.09204745608837-1.57079632675     		φ = -0.47874887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47874887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.430290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73016 KachelY 75928 0.35856801 -0.47874887 20.544434 -27.430290
    Oben rechts KachelX + 1 73017 KachelY 75928 0.35861595 -0.47874887 20.547180 -27.430290
    Unten links KachelX 73016 KachelY + 1 75929 0.35856801 -0.47879142 20.544434 -27.432728
    Unten rechts KachelX + 1 73017 KachelY + 1 75929 0.35861595 -0.47879142 20.547180 -27.432728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47874887--0.47879142) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dl = 271.086050000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47874887--0.47879142) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dr = 271.086050000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35856801-0.35861595) × cos(-0.47874887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887571974190313 × 6371000     		do = 271.087327020473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35856801-0.35861595) × cos(-0.47879142) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887552371917981 × 6371000     		du = 271.081339981941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47874887)-sin(-0.47879142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887571974190313-0.887552371917981)×R²
    abs(0.35861595-0.35856801)×1.96022723325529e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96022723325529e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96022723325529e-05×40589641000000     		ar = 73487.1811969281m²