Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7301 / 4893
↖ ↑ ↗
← N 58.482209°
W 19.577637°		 ← 1 277.22 m → N 58.482209°
W 19.555664°		 →
↑
1 277.45 m
↓
↑
1 277.45 m
↓
N 58.470721°
W 19.577637°		 ← 1 277.64 m →
1 631 854 m²		 N 58.470721°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445648193359375 y=0.298675537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445648193359375 × 214)
    floor (0.445648193359375 × 16384)
    floor (7301.5)     		tx = 7301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298675537109375 × 214)
    floor (0.298675537109375 × 16384)
    floor (4893.5)     		ty = 4893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7301 / 4893 ti = "14/7301/4893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7301/4893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7301 ÷ 214
    7301 ÷ 16384     		x = 0.44561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4893 ÷ 214
    4893 ÷ 16384     		y = 0.29864501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.1087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34169422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29864501953125 × 2 - 1) × π
    0.4027099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26515065477252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34169422} λ = -0.34169422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26515065477252))-π/2
    2×atan(3.54362656014972)-π/2
    2×1.29575171557748-π/2
    2.59150343115495-1.57079632675     		φ = 1.02070710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34169422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.577637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02070710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.482209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7301 KachelY 4893 -0.34169422 1.02070710 -19.577637 58.482209
    Oben rechts KachelX + 1 7302 KachelY 4893 -0.34131073 1.02070710 -19.555664 58.482209
    Unten links KachelX 7301 KachelY + 1 4894 -0.34169422 1.02050659 -19.577637 58.470721
    Unten rechts KachelX + 1 7302 KachelY + 1 4894 -0.34131073 1.02050659 -19.555664 58.470721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02070710-1.02050659) × R
    0.000200509999999987 × 6371000     		dl = 1277.44920999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02070710-1.02050659) × R
    0.000200509999999987 × 6371000     		dr = 1277.44920999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34169422--0.34131073) × cos(1.02070710) × R
    0.000383489999999986 × 0.522763294880566 × 6371000     		do = 1277.22301372128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34169422--0.34131073) × cos(1.02050659) × R
    0.000383489999999986 × 0.522934214710676 × 6371000     		du = 1277.64060757811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02070710)-sin(1.02050659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522763294880566-0.522934214710676)×R²
    abs(-0.34131073--0.34169422)×0.000170919830110083×R²
    0.000383489999999986×0.000170919830110083×6371000²
    0.000383489999999986×0.000170919830110083×40589641000000     		ar = 1631854.26281136m²