Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73009 / 78545
↖ ↑ ↗
← S 33.616906°
E 20.525207°		 ← 254.35 m → S 33.616906°
E 20.527954°		 →
↑
254.33 m
↓
↑
254.33 m
↓
S 33.619194°
E 20.525207°		 ← 254.34 m →
64 687 m²		 S 33.619194°
E 20.527954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557018280029297 y=0.599254608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557018280029297 × 217)
    floor (0.557018280029297 × 131072)
    floor (73009.5)     		tx = 73009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599254608154297 × 217)
    floor (0.599254608154297 × 131072)
    floor (78545.5)     		ty = 78545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73009 / 78545 ti = "17/73009/78545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73009/78545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73009 ÷ 217
    73009 ÷ 131072     		x = 0.557014465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78545 ÷ 217
    78545 ÷ 131072     		y = 0.599250793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557014465332031 × 2 - 1) × π
    0.114028930664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.35823245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599250793457031 × 2 - 1) × π
    -0.198501586914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.62361112715731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35823245} λ = 0.35823245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62361112715731))-π/2
    2×atan(0.536005355070908)-π/2
    2×0.492035311495966-π/2
    0.984070622991932-1.57079632675     		φ = -0.58672570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35823245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.525207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58672570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.616906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73009 KachelY 78545 0.35823245 -0.58672570 20.525207 -33.616906
    Oben rechts KachelX + 1 73010 KachelY 78545 0.35828039 -0.58672570 20.527954 -33.616906
    Unten links KachelX 73009 KachelY + 1 78546 0.35823245 -0.58676562 20.525207 -33.619194
    Unten rechts KachelX + 1 73010 KachelY + 1 78546 0.35828039 -0.58676562 20.527954 -33.619194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58672570--0.58676562) × R
    3.99199999999711e-05 × 6371000     		dl = 254.330319999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58672570--0.58676562) × R
    3.99199999999711e-05 × 6371000     		dr = 254.330319999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35823245-0.35828039) × cos(-0.58672570) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832757914472061 × 6371000     		do = 254.345702268614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35823245-0.35828039) × cos(-0.58676562) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832735812607654 × 6371000     		du = 254.338951790322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58672570)-sin(-0.58676562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832757914472061-0.832735812607654)×R²
    abs(0.35828039-0.35823245)×2.21018644076532e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21018644076532e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21018644076532e-05×40589641000000     		ar = 64686.965431532m²