Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73009 / 77137
↖ ↑ ↗
← S 30.337325°
E 20.525207°		 ← 263.60 m → S 30.337325°
E 20.527954°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
S 30.339695°
E 20.525207°		 ← 263.60 m →
69 476 m²		 S 30.339695°
E 20.527954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557018280029297 y=0.588512420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557018280029297 × 217)
    floor (0.557018280029297 × 131072)
    floor (73009.5)     		tx = 73009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588512420654297 × 217)
    floor (0.588512420654297 × 131072)
    floor (77137.5)     		ty = 77137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73009 / 77137 ti = "17/73009/77137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73009/77137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73009 ÷ 217
    73009 ÷ 131072     		x = 0.557014465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77137 ÷ 217
    77137 ÷ 131072     		y = 0.588508605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557014465332031 × 2 - 1) × π
    0.114028930664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.35823245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588508605957031 × 2 - 1) × π
    -0.177017211914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.556115972492271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35823245} λ = 0.35823245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556115972492271))-π/2
    2×atan(0.573431969684673)-π/2
    2×0.520655064942299-π/2
    1.0413101298846-1.57079632675     		φ = -0.52948620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35823245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.525207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52948620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.337325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73009 KachelY 77137 0.35823245 -0.52948620 20.525207 -30.337325
    Oben rechts KachelX + 1 73010 KachelY 77137 0.35828039 -0.52948620 20.527954 -30.337325
    Unten links KachelX 73009 KachelY + 1 77138 0.35823245 -0.52952757 20.525207 -30.339695
    Unten rechts KachelX + 1 73010 KachelY + 1 77138 0.35828039 -0.52952757 20.527954 -30.339695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52948620--0.52952757) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dl = 263.568269999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52948620--0.52952757) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dr = 263.568269999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35823245-0.35828039) × cos(-0.52948620) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863066699647637 × 6371000     		do = 263.60278540937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35823245-0.35828039) × cos(-0.52952757) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863045803337264 × 6371000     		du = 263.596403138311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52948620)-sin(-0.52952757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863066699647637-0.863045803337264)×R²
    abs(0.35828039-0.35823245)×2.08963103732751e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08963103732751e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08963103732751e-05×40589641000000     		ar = 69476.4890451199m²