Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73008 / 78544
↖ ↑ ↗
← S 33.614619°
E 20.522461°		 ← 254.35 m → S 33.614619°
E 20.525207°		 →
↑
254.33 m
↓
↑
254.33 m
↓
S 33.616906°
E 20.522461°		 ← 254.35 m →
64 689 m²		 S 33.616906°
E 20.525207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557010650634766 y=0.599246978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557010650634766 × 217)
    floor (0.557010650634766 × 131072)
    floor (73008.5)     		tx = 73008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599246978759766 × 217)
    floor (0.599246978759766 × 131072)
    floor (78544.5)     		ty = 78544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73008 / 78544 ti = "17/73008/78544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73008/78544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73008 ÷ 217
    73008 ÷ 131072     		x = 0.5570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78544 ÷ 217
    78544 ÷ 131072     		y = 0.5992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5570068359375 × 2 - 1) × π
    0.114013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35818451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.198486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.62356319025769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35818451} λ = 0.35818451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62356319025769))-π/2
    2×atan(0.536031050121675)-π/2
    2×0.492055271677054-π/2
    0.984110543354108-1.57079632675     		φ = -0.58668578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35818451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58668578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.614619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73008 KachelY 78544 0.35818451 -0.58668578 20.522461 -33.614619
    Oben rechts KachelX + 1 73009 KachelY 78544 0.35823245 -0.58668578 20.525207 -33.614619
    Unten links KachelX 73008 KachelY + 1 78545 0.35818451 -0.58672570 20.522461 -33.616906
    Unten rechts KachelX + 1 73009 KachelY + 1 78545 0.35823245 -0.58672570 20.525207 -33.616906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58668578--0.58672570) × R
    3.99199999999711e-05 × 6371000     		dl = 254.330319999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58668578--0.58672570) × R
    3.99199999999711e-05 × 6371000     		dr = 254.330319999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35818451-0.35823245) × cos(-0.58668578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832780015009381 × 6371000     		do = 254.352452341284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35818451-0.35823245) × cos(-0.58672570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832757914472061 × 6371000     		du = 254.345702268319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58668578)-sin(-0.58672570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832780015009381-0.832757914472061)×R²
    abs(0.35823245-0.35818451)×2.2100537319325e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2100537319325e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2100537319325e-05×40589641000000     		ar = 64688.6822311737m²