Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73006 / 75938
↖ ↑ ↗
← S 27.454665°
E 20.516968°		 ← 271.03 m → S 27.454665°
E 20.519715°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
S 27.457102°
E 20.516968°		 ← 271.02 m →
73 454 m²		 S 27.457102°
E 20.519715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556995391845703 y=0.579364776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556995391845703 × 217)
    floor (0.556995391845703 × 131072)
    floor (73006.5)     		tx = 73006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579364776611328 × 217)
    floor (0.579364776611328 × 131072)
    floor (75938.5)     		ty = 75938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73006 / 75938 ti = "17/73006/75938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73006/75938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73006 ÷ 217
    73006 ÷ 131072     		x = 0.556991577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75938 ÷ 217
    75938 ÷ 131072     		y = 0.579360961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556991577148438 × 2 - 1) × π
    0.113983154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35808864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579360961914062 × 2 - 1) × π
    -0.158721923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.498639629847824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35808864} λ = 0.35808864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498639629847824))-π/2
    2×atan(0.607356327397991)-π/2
    2×0.54581101429522-π/2
    1.09162202859044-1.57079632675     		φ = -0.47917430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35808864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.516968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47917430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.454665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73006 KachelY 75938 0.35808864 -0.47917430 20.516968 -27.454665
    Oben rechts KachelX + 1 73007 KachelY 75938 0.35813658 -0.47917430 20.519715 -27.454665
    Unten links KachelX 73006 KachelY + 1 75939 0.35808864 -0.47921684 20.516968 -27.457102
    Unten rechts KachelX + 1 73007 KachelY + 1 75939 0.35813658 -0.47921684 20.519715 -27.457102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47917430--0.47921684) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dl = 271.022339999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47917430--0.47921684) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dr = 271.022339999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35808864-0.35813658) × cos(-0.47917430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887375911433303 × 6371000     		do = 271.027444407513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35808864-0.35813658) × cos(-0.47921684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887356297706897 × 6371000     		du = 271.021453870612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47917430)-sin(-0.47921684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887375911433303-0.887356297706897)×R²
    abs(0.35813658-0.35808864)×1.96137264060203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96137264060203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96137264060203e-05×40589641000000     		ar = 73453.6804139633m²