Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73003 / 95625
↖ ↑ ↗
← S 63.402591°
E 20.508728°		 ← 136.74 m → S 63.402591°
E 20.511475°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
S 63.403821°
E 20.508728°		 ← 136.74 m →
18 696 m²		 S 63.403821°
E 20.511475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556972503662109 y=0.729564666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556972503662109 × 217)
    floor (0.556972503662109 × 131072)
    floor (73003.5)     		tx = 73003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729564666748047 × 217)
    floor (0.729564666748047 × 131072)
    floor (95625.5)     		ty = 95625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73003 / 95625 ti = "17/73003/95625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73003/95625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73003 ÷ 217
    73003 ÷ 131072     		x = 0.556968688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95625 ÷ 217
    95625 ÷ 131072     		y = 0.729560852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556968688964844 × 2 - 1) × π
    0.113937377929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.35794483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729560852050781 × 2 - 1) × π
    -0.459121704101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.44237337266787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35794483} λ = 0.35794483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44237337266787))-π/2
    2×atan(0.236366107582734)-π/2
    2×0.232106178536531-π/2
    0.464212357073063-1.57079632675     		φ = -1.10658397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35794483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.508728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10658397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.402591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73003 KachelY 95625 0.35794483 -1.10658397 20.508728 -63.402591
    Oben rechts KachelX + 1 73004 KachelY 95625 0.35799277 -1.10658397 20.511475 -63.402591
    Unten links KachelX 73003 KachelY + 1 95626 0.35794483 -1.10660543 20.508728 -63.403821
    Unten rechts KachelX + 1 73004 KachelY + 1 95626 0.35799277 -1.10660543 20.511475 -63.403821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10658397--1.10660543) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dl = 136.721659999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10658397--1.10660543) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dr = 136.721659999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35794483-0.35799277) × cos(-1.10658397) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447718649939033 × 6371000     		do = 136.744799969499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35794483-0.35799277) × cos(-1.10660543) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447699460851482 × 6371000     		du = 136.738939128233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10658397)-sin(-1.10660543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447718649939033-0.447699460851482)×R²
    abs(0.35799277-0.35794483)×1.91890875512746e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91890875512746e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91890875512746e-05×40589641000000     		ar = 18695.5753970279m²