Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73002 / 95626
↖ ↑ ↗
← S 63.403821°
E 20.505981°		 ← 136.74 m → S 63.403821°
E 20.508728°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
S 63.405050°
E 20.505981°		 ← 136.73 m →
18 695 m²		 S 63.405050°
E 20.508728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556964874267578 y=0.729572296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556964874267578 × 217)
    floor (0.556964874267578 × 131072)
    floor (73002.5)     		tx = 73002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729572296142578 × 217)
    floor (0.729572296142578 × 131072)
    floor (95626.5)     		ty = 95626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73002 / 95626 ti = "17/73002/95626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73002/95626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73002 ÷ 217
    73002 ÷ 131072     		x = 0.556961059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95626 ÷ 217
    95626 ÷ 131072     		y = 0.729568481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556961059570312 × 2 - 1) × π
    0.113922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35789689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729568481445312 × 2 - 1) × π
    -0.459136962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44242130956749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35789689} λ = 0.35789689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44242130956749))-π/2
    2×atan(0.236354777195935)-π/2
    2×0.232095447644522-π/2
    0.464190895289044-1.57079632675     		φ = -1.10660543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35789689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.505981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10660543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.403821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73002 KachelY 95626 0.35789689 -1.10660543 20.505981 -63.403821
    Oben rechts KachelX + 1 73003 KachelY 95626 0.35794483 -1.10660543 20.508728 -63.403821
    Unten links KachelX 73002 KachelY + 1 95627 0.35789689 -1.10662689 20.505981 -63.405050
    Unten rechts KachelX + 1 73003 KachelY + 1 95627 0.35794483 -1.10662689 20.508728 -63.405050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10660543--1.10662689) × R
    2.14600000001397e-05 × 6371000     		dl = 136.72166000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10660543--1.10662689) × R
    2.14600000001397e-05 × 6371000     		dr = 136.72166000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35789689-0.35794483) × cos(-1.10660543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447699460851482 × 6371000     		do = 136.738939128075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35789689-0.35794483) × cos(-1.10662689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44768027155775 × 6371000     		du = 136.733078223837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10660543)-sin(-1.10662689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447699460851482-0.44768027155775)×R²
    abs(0.35794483-0.35789689)×1.91892937312921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91892937312921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91892937312921e-05×40589641000000     		ar = 18694.7740887403m²