Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73002 / 95533
↖ ↑ ↗
← S 63.289236°
E 20.505981°		 ← 137.28 m → S 63.289236°
E 20.508728°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
S 63.290470°
E 20.505981°		 ← 137.28 m →
18 839 m²		 S 63.290470°
E 20.508728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556964874267578 y=0.728862762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556964874267578 × 217)
    floor (0.556964874267578 × 131072)
    floor (73002.5)     		tx = 73002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728862762451172 × 217)
    floor (0.728862762451172 × 131072)
    floor (95533.5)     		ty = 95533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73002 / 95533 ti = "17/73002/95533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73002/95533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73002 ÷ 217
    73002 ÷ 131072     		x = 0.556961059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95533 ÷ 217
    95533 ÷ 131072     		y = 0.728858947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556961059570312 × 2 - 1) × π
    0.113922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35789689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728858947753906 × 2 - 1) × π
    -0.457717895507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.43796317790282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35789689} λ = 0.35789689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43796317790282))-π/2
    2×atan(0.237410830174778)-π/2
    2×0.23309539030502-π/2
    0.466190780610039-1.57079632675     		φ = -1.10460555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35789689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.505981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10460555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.289236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73002 KachelY 95533 0.35789689 -1.10460555 20.505981 -63.289236
    Oben rechts KachelX + 1 73003 KachelY 95533 0.35794483 -1.10460555 20.508728 -63.289236
    Unten links KachelX 73002 KachelY + 1 95534 0.35789689 -1.10462709 20.505981 -63.290470
    Unten rechts KachelX + 1 73003 KachelY + 1 95534 0.35794483 -1.10462709 20.508728 -63.290470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10460555--1.10462709) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10460555--1.10462709) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35789689-0.35794483) × cos(-1.10460555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449486825252829 × 6371000     		do = 137.284846223006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35789689-0.35794483) × cos(-1.10462709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449467583747425 × 6371000     		du = 137.278969371979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10460555)-sin(-1.10462709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449486825252829-0.449467583747425)×R²
    abs(0.35794483-0.35789689)×1.9241505403611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9241505403611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9241505403611e-05×40589641000000     		ar = 18839.3801653069m²