Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73002 / 75935
↖ ↑ ↗
← S 27.447353°
E 20.505981°		 ← 271.05 m → S 27.447353°
E 20.508728°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
S 27.449790°
E 20.505981°		 ← 271.04 m →
73 459 m²		 S 27.449790°
E 20.508728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556964874267578 y=0.579341888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556964874267578 × 217)
    floor (0.556964874267578 × 131072)
    floor (73002.5)     		tx = 73002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579341888427734 × 217)
    floor (0.579341888427734 × 131072)
    floor (75935.5)     		ty = 75935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73002 / 75935 ti = "17/73002/75935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73002/75935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73002 ÷ 217
    73002 ÷ 131072     		x = 0.556961059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75935 ÷ 217
    75935 ÷ 131072     		y = 0.579338073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556961059570312 × 2 - 1) × π
    0.113922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35789689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579338073730469 × 2 - 1) × π
    -0.158676147460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.498495819148964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35789689} λ = 0.35789689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498495819148964))-π/2
    2×atan(0.607443678016718)-π/2
    2×0.545874823485455-π/2
    1.09174964697091-1.57079632675     		φ = -0.47904668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35789689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.505981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47904668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.447353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73002 KachelY 75935 0.35789689 -0.47904668 20.505981 -27.447353
    Oben rechts KachelX + 1 73003 KachelY 75935 0.35794483 -0.47904668 20.508728 -27.447353
    Unten links KachelX 73002 KachelY + 1 75936 0.35789689 -0.47908922 20.505981 -27.449790
    Unten rechts KachelX + 1 73003 KachelY + 1 75936 0.35794483 -0.47908922 20.508728 -27.449790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47904668--0.47908922) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dl = 271.022339999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47904668--0.47908922) × R
    4.25399999999798e-05 × 6371000     		dr = 271.022339999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35789689-0.35794483) × cos(-0.47904668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887434742977332 × 6371000     		do = 271.045413075384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35789689-0.35794483) × cos(-0.47908922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887415134068556 × 6371000     		du = 271.03942400991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47904668)-sin(-0.47908922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887434742977332-0.887415134068556)×R²
    abs(0.35794483-0.35789689)×1.96089087758367e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96089087758367e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96089087758367e-05×40589641000000     		ar = 73458.5505237811m²