Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73001 / 95566
↖ ↑ ↗
← S 63.329948°
E 20.503235°		 ← 137.06 m → S 63.329948°
E 20.505981°		 →
↑
137.04 m
↓
↑
137.04 m
↓
S 63.331180°
E 20.503235°		 ← 137.06 m →
18 783 m²		 S 63.331180°
E 20.505981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556957244873047 y=0.729114532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556957244873047 × 217)
    floor (0.556957244873047 × 131072)
    floor (73001.5)     		tx = 73001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729114532470703 × 217)
    floor (0.729114532470703 × 131072)
    floor (95566.5)     		ty = 95566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73001 / 95566 ti = "17/73001/95566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73001/95566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73001 ÷ 217
    73001 ÷ 131072     		x = 0.556953430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95566 ÷ 217
    95566 ÷ 131072     		y = 0.729110717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556953430175781 × 2 - 1) × π
    0.113906860351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.35784896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729110717773438 × 2 - 1) × π
    -0.458221435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43954509559029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35784896} λ = 0.35784896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43954509559029))-π/2
    2×atan(0.237035562682728)-π/2
    2×0.232740115832119-π/2
    0.465480231664238-1.57079632675     		φ = -1.10531610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35784896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.503235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10531610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.329948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73001 KachelY 95566 0.35784896 -1.10531610 20.503235 -63.329948
    Oben rechts KachelX + 1 73002 KachelY 95566 0.35789689 -1.10531610 20.505981 -63.329948
    Unten links KachelX 73001 KachelY + 1 95567 0.35784896 -1.10533761 20.503235 -63.331180
    Unten rechts KachelX + 1 73002 KachelY + 1 95567 0.35789689 -1.10533761 20.505981 -63.331180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10531610--1.10533761) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dl = 137.040210000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10531610--1.10533761) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dr = 137.040210000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35784896-0.35789689) × cos(-1.10531610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448851986787664 × 6371000     		do = 137.062353855098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35784896-0.35789689) × cos(-1.10533761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448832765216231 × 6371000     		du = 137.056484317026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10531610)-sin(-1.10533761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448851986787664-0.448832765216231)×R²
    abs(0.35789689-0.35784896)×1.92215714321375e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92215714321375e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92215714321375e-05×40589641000000     		ar = 18782.6515747888m²