Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73000 / 76072
↖ ↑ ↗
← S 27.780771°
E 20.500488°		 ← 270.22 m → S 27.780771°
E 20.503235°		 →
↑
270.19 m
↓
↑
270.19 m
↓
S 27.783201°
E 20.500488°		 ← 270.22 m →
73 011 m²		 S 27.783201°
E 20.503235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556949615478516 y=0.580387115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556949615478516 × 217)
    floor (0.556949615478516 × 131072)
    floor (73000.5)     		tx = 73000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580387115478516 × 217)
    floor (0.580387115478516 × 131072)
    floor (76072.5)     		ty = 76072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73000 / 76072 ti = "17/73000/76072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73000/76072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73000 ÷ 217
    73000 ÷ 131072     		x = 0.55694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76072 ÷ 217
    76072 ÷ 131072     		y = 0.58038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55694580078125 × 2 - 1) × π
    0.1138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35780102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58038330078125 × 2 - 1) × π
    -0.1607666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.505063174396912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35780102} λ = 0.35780102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505063174396912))-π/2
    2×atan(0.603467450530552)-π/2
    2×0.542965196443283-π/2
    1.08593039288657-1.57079632675     		φ = -0.48486593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35780102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48486593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.780771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73000 KachelY 76072 0.35780102 -0.48486593 20.500488 -27.780771
    Oben rechts KachelX + 1 73001 KachelY 76072 0.35784896 -0.48486593 20.503235 -27.780771
    Unten links KachelX 73000 KachelY + 1 76073 0.35780102 -0.48490834 20.500488 -27.783201
    Unten rechts KachelX + 1 73001 KachelY + 1 76073 0.35784896 -0.48490834 20.503235 -27.783201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48486593--0.48490834) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dl = 270.194109999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48486593--0.48490834) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dr = 270.194109999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35780102-0.35784896) × cos(-0.48486593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88473744571218 × 6371000     		do = 270.221589062175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35780102-0.35784896) × cos(-0.48490834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884717678050373 × 6371000     		du = 270.21555150944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48486593)-sin(-0.48490834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88473744571218-0.884717678050373)×R²
    abs(0.35784896-0.35780102)×1.97676618075571e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97676618075571e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97676618075571e-05×40589641000000     		ar = 73011.466114787m²