Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7300 / 9100
↖ ↑ ↗
← N 62.206512°
W 99.799804°		 ← 569.60 m → N 62.206512°
W 99.788819°		 →
↑
569.69 m
↓
↑
569.69 m
↓
N 62.201389°
W 99.799804°		 ← 569.70 m →
324 528 m²		 N 62.201389°
W 99.788819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222793579101562 y=0.277725219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222793579101562 × 215)
    floor (0.222793579101562 × 32768)
    floor (7300.5)     		tx = 7300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277725219726562 × 215)
    floor (0.277725219726562 × 32768)
    floor (9100.5)     		ty = 9100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7300 / 9100 ti = "15/7300/9100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7300/9100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7300 ÷ 215
    7300 ÷ 32768     		x = 0.2227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9100 ÷ 215
    9100 ÷ 32768     		y = 0.2777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.554443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74183518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2777099609375 × 2 - 1) × π
    0.444580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39668950732996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74183518} λ = -1.74183518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39668950732996))-π/2
    2×atan(4.04179745377975)-π/2
    2×1.32825238779235-π/2
    2.6565047755847-1.57079632675     		φ = 1.08570845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74183518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.799804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08570845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.206512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7300 KachelY 9100 -1.74183518 1.08570845 -99.799804 62.206512
    Oben rechts KachelX + 1 7301 KachelY 9100 -1.74164344 1.08570845 -99.788819 62.206512
    Unten links KachelX 7300 KachelY + 1 9101 -1.74183518 1.08561903 -99.799804 62.201389
    Unten rechts KachelX + 1 7301 KachelY + 1 9101 -1.74164344 1.08561903 -99.788819 62.201389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08570845-1.08561903) × R
    8.94200000001177e-05 × 6371000     		dl = 569.69482000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08570845-1.08561903) × R
    8.94200000001177e-05 × 6371000     		dr = 569.69482000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74183518--1.74164344) × cos(1.08570845) × R
    0.000191739999999996 × 0.466286100047518 × 6371000     		do = 569.603694460028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74183518--1.74164344) × cos(1.08561903) × R
    0.000191739999999996 × 0.466365202153421 × 6371000     		du = 569.700323657762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08570845)-sin(1.08561903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466286100047518-0.466365202153421)×R²
    abs(-1.74164344--1.74183518)×7.91021059028396e-05×R²
    0.000191739999999996×7.91021059028396e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.91021059028396e-05×40589641000000     		ar = 324527.798980154m²