Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 73 / 30
↖ ↑ ↗
← N 82.853382°
W128.671875°		 ← 9 726.77 m → N 82.853382°
W127.968750°		 →
↑
9 786.24 m
↓
↑
9 786.24 m
↓
N 82.765373°
W128.671875°		 ← 9 845.92 m →
95 771 490 m²		 N 82.765373°
W127.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1435546875 y=0.0595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1435546875 × 29)
    floor (0.1435546875 × 512)
    floor (73.5)     		tx = 73
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0595703125 × 29)
    floor (0.0595703125 × 512)
    floor (30.5)     		ty = 30
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 73 / 30 ti = "9/73/30"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/73/30.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73 ÷ 29
    73 ÷ 512     		x = 0.142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30 ÷ 29
    30 ÷ 512     		y = 0.05859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142578125 × 2 - 1) × π
    -0.71484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24574787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.05859375 × 2 - 1) × π
    0.8828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.77343726441797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24574787} λ = -2.24574787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.77343726441797))-π/2
    2×atan(16.0135824366712)-π/2
    2×1.50843032209491-π/2
    3.01686064418983-1.57079632675     		φ = 1.44606432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24574787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44606432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.853382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73 KachelY 30 -2.24574787 1.44606432 -128.671875 82.853382
    Oben rechts KachelX + 1 74 KachelY 30 -2.23347603 1.44606432 -127.968750 82.853382
    Unten links KachelX 73 KachelY + 1 31 -2.24574787 1.44452826 -128.671875 82.765373
    Unten rechts KachelX + 1 74 KachelY + 1 31 -2.23347603 1.44452826 -127.968750 82.765373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44606432-1.44452826) × R
    0.00153606000000006 × 6371000     		dl = 9786.23826000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44606432-1.44452826) × R
    0.00153606000000006 × 6371000     		dr = 9786.23826000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24574787--2.23347603) × cos(1.44606432) × R
    0.0122718400000004 × 0.124408826678382 × 6371000     		do = 9726.76634849125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24574787--2.23347603) × cos(1.44452826) × R
    0.0122718400000004 × 0.125932805725766 × 6371000     		du = 9845.91696271753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44606432)-sin(1.44452826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124408826678382-0.125932805725766)×R²
    abs(-2.23347603--2.24574787)×0.00152397904738395×R²
    0.0122718400000004×0.00152397904738395×6371000²
    0.0122718400000004×0.00152397904738395×40589641000000     		ar = 95771489.9664375m²