Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72997 / 75939
↖ ↑ ↗
← S 27.457102°
E 20.492249°		 ← 270.96 m → S 27.457102°
E 20.494995°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
S 27.459539°
E 20.492249°		 ← 270.96 m →
73 419 m²		 S 27.459539°
E 20.494995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556926727294922 y=0.579372406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556926727294922 × 217)
    floor (0.556926727294922 × 131072)
    floor (72997.5)     		tx = 72997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579372406005859 × 217)
    floor (0.579372406005859 × 131072)
    floor (75939.5)     		ty = 75939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72997 / 75939 ti = "17/72997/75939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72997/75939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72997 ÷ 217
    72997 ÷ 131072     		x = 0.556922912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75939 ÷ 217
    75939 ÷ 131072     		y = 0.579368591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556922912597656 × 2 - 1) × π
    0.113845825195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.35765721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579368591308594 × 2 - 1) × π
    -0.158737182617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.498687566747444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35765721} λ = 0.35765721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498687566747444))-π/2
    2×atan(0.607327213316516)-π/2
    2×0.545789745505244-π/2
    1.09157949101049-1.57079632675     		φ = -0.47921684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35765721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.492249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47921684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.457102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72997 KachelY 75939 0.35765721 -0.47921684 20.492249 -27.457102
    Oben rechts KachelX + 1 72998 KachelY 75939 0.35770514 -0.47921684 20.494995 -27.457102
    Unten links KachelX 72997 KachelY + 1 75940 0.35765721 -0.47925937 20.492249 -27.459539
    Unten rechts KachelX + 1 72998 KachelY + 1 75940 0.35770514 -0.47925937 20.494995 -27.459539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47921684--0.47925937) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dl = 270.958630000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47921684--0.47925937) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dr = 270.958630000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35765721-0.35770514) × cos(-0.47921684) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887356297706897 × 6371000     		do = 270.964920400915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35765721-0.35770514) × cos(-0.47925937) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887336686985907 × 6371000     		du = 270.958932031343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47921684)-sin(-0.47925937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887356297706897-0.887336686985907)×R²
    abs(0.35770514-0.35765721)×1.96107209906593e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96107209906593e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96107209906593e-05×40589641000000     		ar = 73419.4723207598m²