Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72990 / 75946
↖ ↑ ↗
← S 27.474161°
E 20.473022°		 ← 270.98 m → S 27.474161°
E 20.475769°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
S 27.476598°
E 20.473022°		 ← 270.97 m →
73 423 m²		 S 27.476598°
E 20.475769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556873321533203 y=0.579425811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556873321533203 × 217)
    floor (0.556873321533203 × 131072)
    floor (72990.5)     		tx = 72990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579425811767578 × 217)
    floor (0.579425811767578 × 131072)
    floor (75946.5)     		ty = 75946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72990 / 75946 ti = "17/72990/75946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72990/75946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72990 ÷ 217
    72990 ÷ 131072     		x = 0.556869506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75946 ÷ 217
    75946 ÷ 131072     		y = 0.579421997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556869506835938 × 2 - 1) × π
    0.113739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35732165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579421997070312 × 2 - 1) × π
    -0.158843994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.499023125044785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35732165} λ = 0.35732165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.499023125044785))-π/2
    2×atan(0.607123453819394)-π/2
    2×0.545640877139726-π/2
    1.09128175427945-1.57079632675     		φ = -0.47951457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35732165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.473022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47951457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.474161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72990 KachelY 75946 0.35732165 -0.47951457 20.473022 -27.474161
    Oben rechts KachelX + 1 72991 KachelY 75946 0.35736959 -0.47951457 20.475769 -27.474161
    Unten links KachelX 72990 KachelY + 1 75947 0.35732165 -0.47955710 20.473022 -27.476598
    Unten rechts KachelX + 1 72991 KachelY + 1 75947 0.35736959 -0.47955710 20.475769 -27.476598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47951457--0.47955710) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dl = 270.958630000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47951457--0.47955710) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dr = 270.958630000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35732165-0.35736959) × cos(-0.47951457) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887218979728911 × 6371000     		do = 270.979513425884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35732165-0.35736959) × cos(-0.47955710) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887199357772803 × 6371000     		du = 270.973520375419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47951457)-sin(-0.47955710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887218979728911-0.887199357772803)×R²
    abs(0.35736959-0.35732165)×1.96219561079403e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96219561079403e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96219561079403e-05×40589641000000     		ar = 73423.4257926504m²