Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72990 / 75942
↖ ↑ ↗
← S 27.464413°
E 20.473022°		 ← 271 m → S 27.464413°
E 20.475769°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
S 27.466851°
E 20.473022°		 ← 271 m →
73 447 m²		 S 27.466851°
E 20.475769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556873321533203 y=0.579395294189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556873321533203 × 217)
    floor (0.556873321533203 × 131072)
    floor (72990.5)     		tx = 72990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579395294189453 × 217)
    floor (0.579395294189453 × 131072)
    floor (75942.5)     		ty = 75942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72990 / 75942 ti = "17/72990/75942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72990/75942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72990 ÷ 217
    72990 ÷ 131072     		x = 0.556869506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75942 ÷ 217
    75942 ÷ 131072     		y = 0.579391479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556869506835938 × 2 - 1) × π
    0.113739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35732165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579391479492188 × 2 - 1) × π
    -0.158782958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.498831377446304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35732165} λ = 0.35732165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498831377446304))-π/2
    2×atan(0.607239879445455)-π/2
    2×0.545725941956016-π/2
    1.09145188391203-1.57079632675     		φ = -0.47934444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35732165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.473022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47934444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.464413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72990 KachelY 75942 0.35732165 -0.47934444 20.473022 -27.464413
    Oben rechts KachelX + 1 72991 KachelY 75942 0.35736959 -0.47934444 20.475769 -27.464413
    Unten links KachelX 72990 KachelY + 1 75943 0.35732165 -0.47938698 20.473022 -27.466851
    Unten rechts KachelX + 1 72991 KachelY + 1 75943 0.35736959 -0.47938698 20.475769 -27.466851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47934444--0.47938698) × R
    4.25400000000353e-05 × 6371000     		dl = 271.022340000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47934444--0.47938698) × R
    4.25400000000353e-05 × 6371000     		dr = 271.022340000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35732165-0.35736959) × cos(-0.47934444) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887297456116939 × 6371000     		do = 271.00348213477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35732165-0.35736959) × cos(-0.47938698) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887277835968278 × 6371000     		du = 270.997489636346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47934444)-sin(-0.47938698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887297456116939-0.887277835968278)×R²
    abs(0.35736959-0.35732165)×1.96201486611924e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96201486611924e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96201486611924e-05×40589641000000     		ar = 73447.1858369793m²