Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7299 / 10838
↖ ↑ ↗
← S 50.148746°
W 19.621582°		 ← 1 565.60 m → S 50.148746°
W 19.599610°		 →
↑
1 565.42 m
↓
↑
1 565.42 m
↓
S 50.162825°
W 19.621582°		 ← 1 565.14 m →
2 450 465 m²		 S 50.162825°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445526123046875 y=0.661529541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445526123046875 × 214)
    floor (0.445526123046875 × 16384)
    floor (7299.5)     		tx = 7299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661529541015625 × 214)
    floor (0.661529541015625 × 16384)
    floor (10838.5)     		ty = 10838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7299 / 10838 ti = "14/7299/10838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7299/10838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7299 ÷ 214
    7299 ÷ 16384     		x = 0.44549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10838 ÷ 214
    10838 ÷ 16384     		y = 0.6614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.1090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34246121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01472829115735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34246121} λ = -0.34246121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01472829115735))-π/2
    2×atan(0.362500911155791)-π/2
    2×0.34776779318713-π/2
    0.695535586374261-1.57079632675     		φ = -0.87526074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34246121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.621582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87526074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.148746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7299 KachelY 10838 -0.34246121 -0.87526074 -19.621582 -50.148746
    Oben rechts KachelX + 1 7300 KachelY 10838 -0.34207772 -0.87526074 -19.599610 -50.148746
    Unten links KachelX 7299 KachelY + 1 10839 -0.34246121 -0.87550645 -19.621582 -50.162825
    Unten rechts KachelX + 1 7300 KachelY + 1 10839 -0.34207772 -0.87550645 -19.599610 -50.162825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87526074--0.87550645) × R
    0.000245710000000066 × 6371000     		dl = 1565.41841000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87526074--0.87550645) × R
    0.000245710000000066 × 6371000     		dr = 1565.41841000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34246121--0.34207772) × cos(-0.87526074) × R
    0.000383490000000042 × 0.640796707083623 × 6371000     		do = 1565.60399213018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34246121--0.34207772) × cos(-0.87550645) × R
    0.000383490000000042 × 0.640608053568081 × 6371000     		du = 1565.14307107082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87526074)-sin(-0.87550645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640796707083623-0.640608053568081)×R²
    abs(-0.34207772--0.34246121)×0.000188653515541759×R²
    0.000383490000000042×0.000188653515541759×6371000²
    0.000383490000000042×0.000188653515541759×40589641000000     		ar = 2450464.55722379m²