Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7299 / 10771
↖ ↑ ↗
← S 49.196064°
W 19.621582°		 ← 1 596.57 m → S 49.196064°
W 19.599610°		 →
↑
1 596.32 m
↓
↑
1 596.32 m
↓
S 49.210420°
W 19.621582°		 ← 1 596.11 m →
2 548 269 m²		 S 49.210420°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445526123046875 y=0.657440185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445526123046875 × 214)
    floor (0.445526123046875 × 16384)
    floor (7299.5)     		tx = 7299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657440185546875 × 214)
    floor (0.657440185546875 × 16384)
    floor (10771.5)     		ty = 10771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7299 / 10771 ti = "14/7299/10771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7299/10771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7299 ÷ 214
    7299 ÷ 16384     		x = 0.44549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10771 ÷ 214
    10771 ÷ 16384     		y = 0.65740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.1090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34246121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65740966796875 × 2 - 1) × π
    -0.3148193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.989034112960999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34246121} λ = -0.34246121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989034112960999))-π/2
    2×atan(0.371935765516683)-π/2
    2×0.356081515489443-π/2
    0.712163030978885-1.57079632675     		φ = -0.85863330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34246121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.621582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85863330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.196064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7299 KachelY 10771 -0.34246121 -0.85863330 -19.621582 -49.196064
    Oben rechts KachelX + 1 7300 KachelY 10771 -0.34207772 -0.85863330 -19.599610 -49.196064
    Unten links KachelX 7299 KachelY + 1 10772 -0.34246121 -0.85888386 -19.621582 -49.210420
    Unten rechts KachelX + 1 7300 KachelY + 1 10772 -0.34207772 -0.85888386 -19.599610 -49.210420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85863330--0.85888386) × R
    0.000250560000000011 × 6371000     		dl = 1596.31776000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85863330--0.85888386) × R
    0.000250560000000011 × 6371000     		dr = 1596.31776000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34246121--0.34207772) × cos(-0.85863330) × R
    0.000383490000000042 × 0.653472601938592 × 6371000     		do = 1596.57392591633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34246121--0.34207772) × cos(-0.85888386) × R
    0.000383490000000042 × 0.653282919993597 × 6371000     		du = 1596.11049218292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85863330)-sin(-0.85888386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653472601938592-0.653282919993597)×R²
    abs(-0.34207772--0.34246121)×0.000189681944995024×R²
    0.000383490000000042×0.000189681944995024×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189681944995024×40589641000000     		ar = 2548269.43267572m²