Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72985 / 77112
↖ ↑ ↗
← S 30.278045°
E 20.459290°		 ← 263.71 m → S 30.278045°
E 20.462036°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
S 30.280416°
E 20.459290°		 ← 263.70 m →
69 538 m²		 S 30.280416°
E 20.462036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556835174560547 y=0.588321685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556835174560547 × 217)
    floor (0.556835174560547 × 131072)
    floor (72985.5)     		tx = 72985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588321685791016 × 217)
    floor (0.588321685791016 × 131072)
    floor (77112.5)     		ty = 77112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72985 / 77112 ti = "17/72985/77112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72985/77112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72985 ÷ 217
    72985 ÷ 131072     		x = 0.556831359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77112 ÷ 217
    77112 ÷ 131072     		y = 0.58831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556831359863281 × 2 - 1) × π
    0.113662719726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.35708197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.1766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.55491755000177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35708197} λ = 0.35708197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55491755000177))-π/2
    2×atan(0.574119595404681)-π/2
    2×0.521172380675512-π/2
    1.04234476135102-1.57079632675     		φ = -0.52845157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35708197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.459290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52845157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.278045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72985 KachelY 77112 0.35708197 -0.52845157 20.459290 -30.278045
    Oben rechts KachelX + 1 72986 KachelY 77112 0.35712990 -0.52845157 20.462036 -30.278045
    Unten links KachelX 72985 KachelY + 1 77113 0.35708197 -0.52849296 20.459290 -30.280416
    Unten rechts KachelX + 1 72986 KachelY + 1 77113 0.35712990 -0.52849296 20.462036 -30.280416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52845157--0.52849296) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dl = 263.695690000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52845157--0.52849296) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dr = 263.695690000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35708197-0.35712990) × cos(-0.52845157) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.863588818845269 × 6371000     		do = 263.70723480775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35708197-0.35712990) × cos(-0.52849296) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.863567949402513 × 6371000     		du = 263.700862072345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52845157)-sin(-0.52849296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863588818845269-0.863567949402513)×R²
    abs(0.35712990-0.35708197)×2.0869442756366e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0869442756366e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0869442756366e-05×40589641000000     		ar = 69537.6210191457m²