Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72983 / 78361
↖ ↑ ↗
← S 33.195029°
E 20.453796°		 ← 255.58 m → S 33.195029°
E 20.456543°		 →
↑
255.54 m
↓
↑
255.54 m
↓
S 33.197328°
E 20.453796°		 ← 255.58 m →
65 311 m²		 S 33.197328°
E 20.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556819915771484 y=0.597850799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556819915771484 × 217)
    floor (0.556819915771484 × 131072)
    floor (72983.5)     		tx = 72983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597850799560547 × 217)
    floor (0.597850799560547 × 131072)
    floor (78361.5)     		ty = 78361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72983 / 78361 ti = "17/72983/78361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72983/78361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72983 ÷ 217
    72983 ÷ 131072     		x = 0.556816101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78361 ÷ 217
    78361 ÷ 131072     		y = 0.597846984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556816101074219 × 2 - 1) × π
    0.113632202148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.35698609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597846984863281 × 2 - 1) × π
    -0.195693969726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.61479073762722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35698609} λ = 0.35698609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61479073762722))-π/2
    2×atan(0.540754042944249)-π/2
    2×0.495716884727208-π/2
    0.991433769454416-1.57079632675     		φ = -0.57936256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35698609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.453796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57936256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.195029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72983 KachelY 78361 0.35698609 -0.57936256 20.453796 -33.195029
    Oben rechts KachelX + 1 72984 KachelY 78361 0.35703403 -0.57936256 20.456543 -33.195029
    Unten links KachelX 72983 KachelY + 1 78362 0.35698609 -0.57940267 20.453796 -33.197328
    Unten rechts KachelX + 1 72984 KachelY + 1 78362 0.35703403 -0.57940267 20.456543 -33.197328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57936256--0.57940267) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dl = 255.54081000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57936256--0.57940267) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dr = 255.54081000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35698609-0.35703403) × cos(-0.57936256) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836811812329973 × 6371000     		do = 255.583867021751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35698609-0.35703403) × cos(-0.57940267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836789851807643 × 6371000     		du = 255.577159712968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57936256)-sin(-0.57940267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836811812329973-0.836789851807643)×R²
    abs(0.35703403-0.35698609)×2.19605223295005e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19605223295005e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19605223295005e-05×40589641000000     		ar = 65311.2514148647m²