Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72981 / 77101
↖ ↑ ↗
← S 30.251950°
E 20.448303°		 ← 263.78 m → S 30.251950°
E 20.451050°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
S 30.254322°
E 20.448303°		 ← 263.77 m →
69 590 m²		 S 30.254322°
E 20.451050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556804656982422 y=0.588237762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556804656982422 × 217)
    floor (0.556804656982422 × 131072)
    floor (72981.5)     		tx = 72981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588237762451172 × 217)
    floor (0.588237762451172 × 131072)
    floor (77101.5)     		ty = 77101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72981 / 77101 ti = "17/72981/77101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72981/77101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72981 ÷ 217
    72981 ÷ 131072     		x = 0.556800842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77101 ÷ 217
    77101 ÷ 131072     		y = 0.588233947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556800842285156 × 2 - 1) × π
    0.113601684570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.35689022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588233947753906 × 2 - 1) × π
    -0.176467895507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.554390244105949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35689022} λ = 0.35689022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554390244105949))-π/2
    2×atan(0.574422411883685)-π/2
    2×0.521400098676003-π/2
    1.04280019735201-1.57079632675     		φ = -0.52799613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35689022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.448303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52799613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.251950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72981 KachelY 77101 0.35689022 -0.52799613 20.448303 -30.251950
    Oben rechts KachelX + 1 72982 KachelY 77101 0.35693815 -0.52799613 20.451050 -30.251950
    Unten links KachelX 72981 KachelY + 1 77102 0.35689022 -0.52803754 20.448303 -30.254322
    Unten rechts KachelX + 1 72982 KachelY + 1 77102 0.35693815 -0.52803754 20.451050 -30.254322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52799613--0.52803754) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dl = 263.823110000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52799613--0.52803754) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dr = 263.823110000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35689022-0.35693815) × cos(-0.52799613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.863818360635087 × 6371000     		do = 263.777328154964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35689022-0.35693815) × cos(-0.52803754) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.863797497396736 × 6371000     		du = 263.770957314148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52799613)-sin(-0.52803754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863818360635087-0.863797497396736)×R²
    abs(0.35693815-0.35689022)×2.08632383513763e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08632383513763e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08632383513763e-05×40589641000000     		ar = 69589.7146838658m²