Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72980 / 77100
↖ ↑ ↗
← S 30.249577°
E 20.445557°		 ← 263.84 m → S 30.249577°
E 20.448303°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
S 30.251950°
E 20.445557°		 ← 263.83 m →
69 606 m²		 S 30.251950°
E 20.448303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556797027587891 y=0.588230133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556797027587891 × 217)
    floor (0.556797027587891 × 131072)
    floor (72980.5)     		tx = 72980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588230133056641 × 217)
    floor (0.588230133056641 × 131072)
    floor (77100.5)     		ty = 77100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72980 / 77100 ti = "17/72980/77100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72980/77100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72980 ÷ 217
    72980 ÷ 131072     		x = 0.556793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77100 ÷ 217
    77100 ÷ 131072     		y = 0.588226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556793212890625 × 2 - 1) × π
    0.11358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35684228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.17645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.554342307206329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35684228} λ = 0.35684228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554342307206329))-π/2
    2×atan(0.57444994857319)-π/2
    2×0.521420803313041-π/2
    1.04284160662608-1.57079632675     		φ = -0.52795472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35684228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52795472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.249577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72980 KachelY 77100 0.35684228 -0.52795472 20.445557 -30.249577
    Oben rechts KachelX + 1 72981 KachelY 77100 0.35689022 -0.52795472 20.448303 -30.249577
    Unten links KachelX 72980 KachelY + 1 77101 0.35684228 -0.52799613 20.445557 -30.251950
    Unten rechts KachelX + 1 72981 KachelY + 1 77101 0.35689022 -0.52799613 20.448303 -30.251950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52795472--0.52799613) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dl = 263.823110000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52795472--0.52799613) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dr = 263.823110000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35684228-0.35689022) × cos(-0.52795472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863839222392173 × 6371000     		do = 263.838733739981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35684228-0.35689022) × cos(-0.52799613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863818360635087 × 6371000     		du = 263.832362022385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52795472)-sin(-0.52799613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863839222392173-0.863818360635087)×R²
    abs(0.35689022-0.35684228)×2.08617570858216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08617570858216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08617570858216e-05×40589641000000     		ar = 69605.9147804426m²