Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7298 / 9088
↖ ↑ ↗
← N 62.267923°
W 99.821777°		 ← 568.47 m → N 62.267923°
W 99.810791°		 →
↑
568.55 m
↓
↑
568.55 m
↓
N 62.262810°
W 99.821777°		 ← 568.57 m →
323 233 m²		 N 62.262810°
W 99.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222732543945312 y=0.277359008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222732543945312 × 215)
    floor (0.222732543945312 × 32768)
    floor (7298.5)     		tx = 7298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277359008789062 × 215)
    floor (0.277359008789062 × 32768)
    floor (9088.5)     		ty = 9088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7298 / 9088 ti = "15/7298/9088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7298/9088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7298 ÷ 215
    7298 ÷ 32768     		x = 0.22271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9088 ÷ 215
    9088 ÷ 32768     		y = 0.27734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.5545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74221868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27734375 × 2 - 1) × π
    0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74221868} λ = -1.74221868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39899047851172))-π/2
    2×atan(4.05110822103903)-π/2
    2×1.32878829751836-π/2
    2.65757659503671-1.57079632675     		φ = 1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74221868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7298 KachelY 9088 -1.74221868 1.08678027 -99.821777 62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 7299 KachelY 9088 -1.74202693 1.08678027 -99.810791 62.267923
    Unten links KachelX 7298 KachelY + 1 9089 -1.74221868 1.08669103 -99.821777 62.262810
    Unten rechts KachelX + 1 7299 KachelY + 1 9089 -1.74202693 1.08669103 -99.810791 62.262810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08678027-1.08669103) × R
    8.92400000001015e-05 × 6371000     		dl = 568.548040000646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08678027-1.08669103) × R
    8.92400000001015e-05 × 6371000     		dr = 568.548040000646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74221868--1.74202693) × cos(1.08678027) × R
    0.000191749999999935 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 568.474754852581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74221868--1.74202693) × cos(1.08669103) × R
    0.000191749999999935 × 0.465416651443388 × 6371000     		du = 568.571249006619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08678027)-sin(1.08669103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.465416651443388)×R²
    abs(-1.74202693--1.74221868)×7.89874376077027e-05×R²
    0.000191749999999935×7.89874376077027e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.89874376077027e-05×40589641000000     		ar = 323232.638657429m²