Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7298 / 5503
↖ ↑ ↗
← N 75.847855°
W 99.821777°		 ← 298.69 m → N 75.847855°
W 99.810791°		 →
↑
298.74 m
↓
↑
298.74 m
↓
N 75.845168°
W 99.821777°		 ← 298.74 m →
89 237 m²		 N 75.845168°
W 99.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222732543945312 y=0.167953491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222732543945312 × 215)
    floor (0.222732543945312 × 32768)
    floor (7298.5)     		tx = 7298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167953491210938 × 215)
    floor (0.167953491210938 × 32768)
    floor (5503.5)     		ty = 5503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7298 / 5503 ti = "15/7298/5503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7298/5503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7298 ÷ 215
    7298 ÷ 32768     		x = 0.22271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5503 ÷ 215
    5503 ÷ 32768     		y = 0.167938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.5545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74221868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167938232421875 × 2 - 1) × π
    0.66412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08640561906332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74221868} λ = -1.74221868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08640561906332))-π/2
    2×atan(8.05590706367681)-π/2
    2×1.44729556286161-π/2
    2.89459112572322-1.57079632675     		φ = 1.32379480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74221868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32379480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.847855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7298 KachelY 5503 -1.74221868 1.32379480 -99.821777 75.847855
    Oben rechts KachelX + 1 7299 KachelY 5503 -1.74202693 1.32379480 -99.810791 75.847855
    Unten links KachelX 7298 KachelY + 1 5504 -1.74221868 1.32374791 -99.821777 75.845168
    Unten rechts KachelX + 1 7299 KachelY + 1 5504 -1.74202693 1.32374791 -99.810791 75.845168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32379480-1.32374791) × R
    4.68899999999106e-05 × 6371000     		dl = 298.736189999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32379480-1.32374791) × R
    4.68899999999106e-05 × 6371000     		dr = 298.736189999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74221868--1.74202693) × cos(1.32379480) × R
    0.000191749999999935 × 0.244497593489316 × 6371000     		do = 298.687856736991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74221868--1.74202693) × cos(1.32374791) × R
    0.000191749999999935 × 0.244543060104282 × 6371000     		du = 298.743400538398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32379480)-sin(1.32374791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244497593489316-0.244543060104282)×R²
    abs(-1.74202693--1.74221868)×4.54666149659055e-05×R²
    0.000191749999999935×4.54666149659055e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.54666149659055e-05×40589641000000     		ar = 89237.1688089285m²