Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7298 / 4524
↖ ↑ ↗
← N 62.471724°
W 19.643555°		 ← 1 129.25 m → N 62.471724°
W 19.621582°		 →
↑
1 129.45 m
↓
↑
1 129.45 m
↓
N 62.461566°
W 19.643555°		 ← 1 129.63 m →
1 275 649 m²		 N 62.461566°
W 19.621582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445465087890625 y=0.276153564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445465087890625 × 214)
    floor (0.445465087890625 × 16384)
    floor (7298.5)     		tx = 7298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276153564453125 × 214)
    floor (0.276153564453125 × 16384)
    floor (4524.5)     		ty = 4524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7298 / 4524 ti = "14/7298/4524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7298/4524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7298 ÷ 214
    7298 ÷ 16384     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4524 ÷ 214
    4524 ÷ 16384     		y = 0.276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276123046875 × 2 - 1) × π
    0.44775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40666038245093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40666038245093))-π/2
    2×atan(4.08229929530603)-π/2
    2×1.33056679749754-π/2
    2.66113359499508-1.57079632675     		φ = 1.09033727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09033727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.471724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7298 KachelY 4524 -0.34284471 1.09033727 -19.643555 62.471724
    Oben rechts KachelX + 1 7299 KachelY 4524 -0.34246121 1.09033727 -19.621582 62.471724
    Unten links KachelX 7298 KachelY + 1 4525 -0.34284471 1.09015999 -19.643555 62.461566
    Unten rechts KachelX + 1 7299 KachelY + 1 4525 -0.34246121 1.09015999 -19.621582 62.461566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09033727-1.09015999) × R
    0.000177279999999946 × 6371000     		dl = 1129.45087999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09033727-1.09015999) × R
    0.000177279999999946 × 6371000     		dr = 1129.45087999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34246121) × cos(1.09033727) × R
    0.000383499999999981 × 0.462186307917435 × 6371000     		do = 1129.24986912899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34246121) × cos(1.09015999) × R
    0.000383499999999981 × 0.46234350951679 × 6371000     		du = 1129.63395641686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09033727)-sin(1.09015999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462186307917435-0.46234350951679)×R²
    abs(-0.34246121--0.34284471)×0.000157201599355283×R²
    0.000383499999999981×0.000157201599355283×6371000²
    0.000383499999999981×0.000157201599355283×40589641000000     		ar = 1275649.16563114m²