Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7298 / 10837
↖ ↑ ↗
← S 50.134664°
W 19.643555°		 ← 1 566.11 m → S 50.134664°
W 19.621582°		 →
↑
1 565.86 m
↓
↑
1 565.86 m
↓
S 50.148746°
W 19.643555°		 ← 1 565.64 m →
2 451 948 m²		 S 50.148746°
W 19.621582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445465087890625 y=0.661468505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445465087890625 × 214)
    floor (0.445465087890625 × 16384)
    floor (7298.5)     		tx = 7298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661468505859375 × 214)
    floor (0.661468505859375 × 16384)
    floor (10837.5)     		ty = 10837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7298 / 10837 ti = "14/7298/10837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7298/10837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7298 ÷ 214
    7298 ÷ 16384     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10837 ÷ 214
    10837 ÷ 16384     		y = 0.66143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.3228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01434479596039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01434479596039))-π/2
    2×atan(0.362639955173766)-π/2
    2×0.347890682504768-π/2
    0.695781365009536-1.57079632675     		φ = -0.87501496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87501496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.134664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7298 KachelY 10837 -0.34284471 -0.87501496 -19.643555 -50.134664
    Oben rechts KachelX + 1 7299 KachelY 10837 -0.34246121 -0.87501496 -19.621582 -50.134664
    Unten links KachelX 7298 KachelY + 1 10838 -0.34284471 -0.87526074 -19.643555 -50.148746
    Unten rechts KachelX + 1 7299 KachelY + 1 10838 -0.34246121 -0.87526074 -19.621582 -50.148746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87501496--0.87526074) × R
    0.000245779999999973 × 6371000     		dl = 1565.86437999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87501496--0.87526074) × R
    0.000245779999999973 × 6371000     		dr = 1565.86437999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34246121) × cos(-0.87501496) × R
    0.000383499999999981 × 0.640985375640804 × 6371000     		do = 1566.10578711752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34246121) × cos(-0.87526074) × R
    0.000383499999999981 × 0.640796707083623 × 6371000     		du = 1565.64481728814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87501496)-sin(-0.87526074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640985375640804-0.640796707083623)×R²
    abs(-0.34246121--0.34284471)×0.000188668557181249×R²
    0.000383499999999981×0.000188668557181249×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188668557181249×40589641000000     		ar = 2451948.37158345m²