Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72978 / 78351
↖ ↑ ↗
← S 33.172042°
E 20.440064°		 ← 255.60 m → S 33.172042°
E 20.442810°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
S 33.174342°
E 20.440064°		 ← 255.59 m →
65 347 m²		 S 33.174342°
E 20.442810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556781768798828 y=0.597774505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556781768798828 × 217)
    floor (0.556781768798828 × 131072)
    floor (72978.5)     		tx = 72978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597774505615234 × 217)
    floor (0.597774505615234 × 131072)
    floor (78351.5)     		ty = 78351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72978 / 78351 ti = "17/72978/78351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72978/78351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72978 ÷ 217
    72978 ÷ 131072     		x = 0.556777954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78351 ÷ 217
    78351 ÷ 131072     		y = 0.597770690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556777954101562 × 2 - 1) × π
    0.113555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35674641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597770690917969 × 2 - 1) × π
    -0.195541381835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.61431136863102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35674641} λ = 0.35674641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61431136863102))-π/2
    2×atan(0.541013325808125)-π/2
    2×0.49591748186363-π/2
    0.991834963727261-1.57079632675     		φ = -0.57896136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35674641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.440064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57896136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.172042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72978 KachelY 78351 0.35674641 -0.57896136 20.440064 -33.172042
    Oben rechts KachelX + 1 72979 KachelY 78351 0.35679434 -0.57896136 20.442810 -33.172042
    Unten links KachelX 72978 KachelY + 1 78352 0.35674641 -0.57900149 20.440064 -33.174342
    Unten rechts KachelX + 1 72979 KachelY + 1 78352 0.35679434 -0.57900149 20.442810 -33.174342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57896136--0.57900149) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dl = 255.668230000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57896136--0.57900149) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dr = 255.668230000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35674641-0.35679434) × cos(-0.57896136) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837031398217916 × 6371000     		do = 255.597606933422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35674641-0.35679434) × cos(-0.57900149) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837009440219494 × 6371000     		du = 255.590901794449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57896136)-sin(-0.57900149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837031398217916-0.837009440219494)×R²
    abs(0.35679434-0.35674641)×2.19579984217511e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19579984217511e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19579984217511e-05×40589641000000     		ar = 65347.3306202325m²