Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72977 / 95529
↖ ↑ ↗
← S 63.284297°
E 20.437317°		 ← 137.31 m → S 63.284297°
E 20.440064°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
S 63.285532°
E 20.437317°		 ← 137.30 m →
18 851 m²		 S 63.285532°
E 20.440064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556774139404297 y=0.728832244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556774139404297 × 217)
    floor (0.556774139404297 × 131072)
    floor (72977.5)     		tx = 72977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728832244873047 × 217)
    floor (0.728832244873047 × 131072)
    floor (95529.5)     		ty = 95529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72977 / 95529 ti = "17/72977/95529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72977/95529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72977 ÷ 217
    72977 ÷ 131072     		x = 0.556770324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95529 ÷ 217
    95529 ÷ 131072     		y = 0.728828430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556770324707031 × 2 - 1) × π
    0.113540649414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.35669847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728828430175781 × 2 - 1) × π
    -0.457656860351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.43777143030434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35669847} λ = 0.35669847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43777143030434))-π/2
    2×atan(0.237456357496054)-π/2
    2×0.233138488005841-π/2
    0.466276976011683-1.57079632675     		φ = -1.10451935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35669847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.437317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10451935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.284297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72977 KachelY 95529 0.35669847 -1.10451935 20.437317 -63.284297
    Oben rechts KachelX + 1 72978 KachelY 95529 0.35674641 -1.10451935 20.440064 -63.284297
    Unten links KachelX 72977 KachelY + 1 95530 0.35669847 -1.10454090 20.437317 -63.285532
    Unten rechts KachelX + 1 72978 KachelY + 1 95530 0.35674641 -1.10454090 20.440064 -63.285532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10451935--1.10454090) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10451935--1.10454090) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35669847-0.35674641) × cos(-1.10451935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449563824918792 × 6371000     		do = 137.308363903121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35669847-0.35674641) × cos(-1.10454090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449544575315447 × 6371000     		du = 137.302484578775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10451935)-sin(-1.10454090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449563824918792-0.449544575315447)×R²
    abs(0.35674641-0.35669847)×1.92496033453726e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92496033453726e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92496033453726e-05×40589641000000     		ar = 18851.3550872065m²